Frage zum Kern von einer linearen Abbildung

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hugo von oben Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Kern von einer linearen Abbildung
Meine Frage:
Hallöchen,
meine Frage ist für die Leute, die es wissen schnell zu beantworten, leider bin ich mir bei der Lösung im Unklaren.
Meine Frage:
Wenn ich eine 3x3 Matrix habe bei der alles Kopfvariablen sind. Die Lösung der homogenen Gleichungssystems ergibt, dass die einzige Lösung ist: x1=x2=x3=0.
Was ist in diesem Fall der Kern bzw. die Basis des Kerns.


Meine Ideen:
Ich bin mir nicht ganz sicher, doch denke, dass es entweder der Nullverktor ist oder eben die leere Menge. Kann das sein?
Bitte um Aufklärung. smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Kern von einer linearen Abbildung
Wenn deine Lösung x1=x2=x3=0 ist, bedeutet das, dass nur Vektoren im Kern liegen, bei denen alle Komponenten null sind. Da gibt es nur einen, und zwar den Nullvektor. Also liegt auch nur der Nullvektor im Kern.

Die Dimension des Kerns ist dann 0. Die Basis ist dann die leere Menge.

Der Kern an sich kann nicht die leere Menge sein, weil der Kern auch immer einen Untervektorraum bildet. Und die leere Menge ist kein Vektorraum.

Und der Nullvektor liegt sowieso immer im Kern. Das muss bei linearen Abbildungen so sein (und eine solche beschreibt eine Matrix ja).
hugo von oben Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antwort.
Das heißt also, wenn nur der Nullvektor im Kern enthalten ist, dann ist die Dimension des Kerns 0? Aber eigentlich ist doch der Nullvektor auch ein Element im Kern, wieso ist die Dimension dann nicht 1?
Und noch mal zu Verständlichkeit für mich, wenn die Dimension des Kerns 0 ist, dann ist die Basis des Kerns die leere Menge? Ist das eigentlich immer so? smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hugo von oben
Danke erstmal für deine Antwort.
Das heißt also, wenn nur der Nullvektor im Kern enthalten ist, dann ist die Dimension des Kerns 0? Aber eigentlich ist doch der Nullvektor auch ein Element im Kern, wieso ist die Dimension dann nicht 1?

Wenn die Dimension tatsächlich 1 wäre, dann bräuchtest du auch eine Basis mit einem Element. Nun ist eine Basis aber eine "maximal linear unabhängige Teilmenge" des Vektorraums (in unserem Fall des Kerns). Wenn überhaupt hätten wir nur eine Möglichkeit, dann müsste der Nullvektor die Basis bilden. Denn das ist ja der einzige Vektor, der überhaupt im Kern liegt. Denk immer dran: Der Kern ist selbst auch wieder ein Vektorraum. Problem: Der Nullvektor ist linear abhängig! Daran scheitert es schon. Zudem erzeugt der Nullvektor nichts. Man könnte jetzt sagen "doch, er erzeugt den Nullvektor". Aber das ist auch mit der leeren Menge möglich. Kennst du den Begriff Leere Summe? So kann man es auch hier sehen. Der Wert der leeren Summe ist null und damit hast du den Nullvektor:



Das ist die leere Menge hier.

So kann man die leere Menge tatsächlich als ein Erzeugendensystem sehen. Klingt im ersten Moment nicht logisch, kann ich mir vorstellen. Aber da musst du dich mit abfinden, so macht es einfach am meisten Sinn. Denn wie gesagt: Außer der leeren Menge bleibt dir keine andere Möglichkeit, eine sinnvolle Basis zu konstruieren. Oder hast du noch andere Vorschläge? Mir gehen an dieser Stelle nämlich eindeutig die Ideen aus. Augenzwinkern

Zitat:
Original von hugo von oben
Und noch mal zu Verständlichkeit für mich, wenn die Dimension des Kerns 0 ist, dann ist die Basis des Kerns die leere Menge? Ist das eigentlich immer so?

Ja, bei "einelementigen" Vektorräumen ist das so. Aber das kann ja eigentlich dann nur der Vektorraum sein, der nur den Nullvektor enthält. Wenn man irgendeinen von null verschiedenen Vektor nimmt, kann der alleine keinen Vektorraum bilden, wie soll das funktionieren? Da werden sehr viele Bedingungen verletzt, die ein Vektorraum erfüllen muss. Überleg dir ruhig mal welche. Das macht es vielleicht klarer.

Tatsächlich findet man generell keine reellen Vektorräume, die nur aus endlich vielen Elementen besteht, ausgenommen eben dem "Nullvektorraum".
hugo von oben Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für deine kompetente schnelle Antwort.
Ich glaub ich hab's begriffen. Freude
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