dim im(f) kleiner/gleich dim V

Neue Frage »

27.02.2012, 15:59	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
dim im(f) kleiner/gleich dim V Hallo, ich soll nachprüfen, ob bei einer lin. Abilldung $\begin{eqnarray} f: V \longrightarrow W \end{eqnarray}$ gilt, dass dim im (f) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ dim(V). Habe mit dem Rangsatz versucht zu Argumentieren: dim V = dim im(f) + dim ker (f) Setze in obige Gleichung ein: dim im (f) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ im im(f) + dim ker (f) . Daran sieht man, wenn der Kern die Dim. 0 hat, dann ist eine gleicheit gegeben, wenn der Kern eine Dimension > 0 besitzt, dann ist die Aussage falsch. Kann man das so machen?
27.02.2012, 16:51	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist die Aussage falsch, wenn die Dimension des Kernes nicht 0 ist?
27.02.2012, 16:58	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
ja irgendwie sinnlos was ich da gemacht habe
27.02.2012, 16:59	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt Aber der Ansatz war gut, denn musst du nur richtig weiterverfolgen.
27.02.2012, 17:52	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
nur eine Idee: kann es sein, wenn der ker unlgeich 0 ist muss gleten das dim imf = dim V ?
27.02.2012, 18:25	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst keinerlei Fallunterscheidung. Du weißt, dass die Dimensionen von Kern und Bild natürliche Zahlen sind und du hast den Dimensionssatz $\begin{eqnarray} \dim V = \dim\ker(f) + \dim\operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$ Das ist alles was du brauchst. Und zu deiner Frage: Nein, wenn der Kern die Dimension 0 hat, gilt nach dem Dimensionssatz, dass dann Bild und Raum in ihren Dimensionen übereinstimmen.
Anzeige

27.02.2012, 20:36	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist ja einfach nur zu sagen, dass das im(f) ein unterraum des zielberreiches ist, wenn alle elemenet des zielberreich getroffen werden, dann kann man sagen, dass dim im(f) = dim W = dim V. dann wäre dim im (f) = dim V also gleich. Allerdings kann man auch sagen, dass im (f) ein Unterraum von V ist und daher automatisch kleiner ist.. also dim im (f) < dim (V)
28.02.2012, 02:52	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \dim V = \dim W \end{eqnarray}$ gilt garantiert nicht in allen Fällen. Ich weiß nicht, warum du es so kompliziert machst, du brauchst wirklich nur die Tatsache des Dimensionssatzes und dass die Dimension des Kerns größer gleich 0 ist.
28.02.2012, 11:39	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
ja dann ists vollkommen klar, aber wie schreibt man das nur sauber auf? hier meine idee: $\begin{eqnarray} \dim V = \dim\ker(f) + \dim\operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} \dim\ker(f) \geq 0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \dim im(f) \leq \dim V \end{eqnarray}$ Die Dimension des Bildes richted sich nach der Dimension des Kern. Im Fall dim ker(f)=0 besitzt das Bild die Dimension von V. Im Fall dim ker(f)=n n Element aus N und damit ungleich 0, besitzt der Bildbereich die Dimension n-1 und ist somit kleiner als die Dim. des Vektorraums.
28.02.2012, 11:47	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es so aufschreiben: $\begin{eqnarray} \dim V = \dim\operatorname{im}(f)+\underbrace{\dim\ker(f)}_{\geq 0}\geq\dim\operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$
28.02.2012, 12:06	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
sicher? also entweder lese ich das falsch oder ich hab das nicht ganz verstanden... dim ker (f) = 0 , dann kann die dim ker(f) schon mal nicht gleich der dim im(f) sein und erst recht nicht größer die des bildes sein.
28.02.2012, 12:07	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
achso falsch gelesen. ALles super danke!

Neue Frage »

Antworten »

dim im(f) kleiner/gleich dim V

Verwandte Themen