Rang, Bild und Kern einer linearen Abbildung

27.02.2012, 16:12

Zeberuus

Rang, Bild und Kern einer linearen Abbildung

Meine Frage:
So ich bin bei meinen Übungsaufgaben über ein Problem gestolpert und möchte auf dem Weg auch noch andere Sachen klären:

bestimmen sie rg $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , im $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und ker $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der linearen Abbildung
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi: v->Av \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So nun möchte ich zunächst den Rang bestimmen, welches ja die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren wiederspiegelt.
Eigentlich würde ich das jetzt wie folgt machen:

$\begin{eqnarray*} \lambda\begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 4\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
und die Zeilen dann ineinander einsetzen, bis ich die Werte für die verschiedenen Lambdas habe. Hier ist das ja jetzt nicht möglich. Ist es aber denn richtig, das der $\begin{eqnarray*} rg = dim \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} im = 1 \end{eqnarray*}$ ist? Ich hab mir halt gedacht, dass ich die $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 2\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 3\end{pmatrix};\begin{pmatrix}4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit den anderen Vektoren abbilden kann und sie deshalb abhängig sind, die $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht weshalb dies das Bild ist bzw. das Bild von diesem aufgespannt wird quasi $\begin{eqnarray*} im \phi = span<\begin{pmatrix} 1\end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ ist.
So jetzt kommt meine Problematik bei der Berechnung des Kerns.
Kann mir das einer nochmal ganz ganz einfach erklären? :-)

27.02.2012, 16:22

martinio

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Hier meine Idee - keine Garantie für die Richtigkeit

ist nicht der rang = dim im (f) ?
meine idee, mit dem rangsatz es mal versuchen: http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
dein zielvektorraum ist der ganznormale $\begin{eqnarray*} \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$ , meines wissens nach hat der die Dimension 1. Dein Definitionsberreich ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , der müsste eigenltich die Dimension 4 haben, wenn man dann den Rangsatz benutzt, sollteste du auf die demiension des kern (f) = 1.defekt kommen.

27.02.2012, 16:28

SusiQuad

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weil 4 - 1 = 1 *urggh*

27.02.2012, 16:40

martinio

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Zitat:

Original von SusiQuad
weil 4 - 1 = 1 *urggh*

habe ich etwa quatsch erzählt? Dann biite auch mich belehren! smile

27.02.2012, 16:43

chrizke

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Na du hast es doch so schön erklärt: Der Rangsatz besagt:

Für eine Lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \dim V = \dim\ker(f) + \operatorname{rank}(f) \end{eqnarray*}$

Da der Rang von f ja nicht größer als 1 sein kann, muss er wohl 1 sein. Und wenn die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ja auch offensichtlich 4 ist gilt nach der Rangformel:

$\begin{eqnarray*} 4-1 = 3 = \dim\ker(f) \end{eqnarray*}$

27.02.2012, 16:54

martinio

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ich glaube ich hab das blöd geschrieben Big Laugh

ich meinte :

Zitat:

die demiension des kern (f) = 1.defekt

im Sinne von dass der Kern auch als 1.Defekt bezeichnet werden kann Big Laugh

27.02.2012, 16:55

chrizke

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Jetzt musst du mich aufklären, was ist denn der 1. Defekt? Das sagt mir leider gar nichts.

27.02.2012, 17:13

martinio

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also laut skript ist der 1.defekt = Rang = Defekt, ist denke ich nur eine vorliebe meines profs es so zu nennen. aber im endefekkt alles das gleiche

27.02.2012, 17:18

Zeberuus

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Zunächst vielen Dank für die zügigen Antworten!

Ich muss allerdings nicht nur die Dimension sondern auch den span des Kerns bestimmen. Kann mir einer nochmal erklären wie ich das genau am oberen Beispiel oder besser noch allgemein (aber verständlich :-)) mache ?
Und dann bin ich mir da beim Bild bzw Rang ja auch nicht ganz sicher ob das so richtig ist kann das einer absegnen oder mir sagen wie es richtig wäre ??

27.02.2012, 17:51

chrizke

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Ja also das Bild ist richtig. Da dein Zielraum der R ist, kann dein Bild keine Dimension größer als 1 haben. Wie du richtig erkannt hast, liegt die 1 im Bild, 2,3,4 natürlich auch usw. Deswegen und weil A nicht die Nullabbildung ist, hat das Bild Dimension 1. Den Beweis, dass die Dimension des Bildes nicht größer als die des Zielraumes ist, versucht gerade martinio in einem anderen Thread zu beweisen Augenzwinkern

Nun geht es an den Kern.

Dazu musst du ja nur, das hast du ja auch geschrieben, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} w+2x+3y+4z=0 \end{eqnarray*}$

lösen und erhältst dadurch ja deinen Kern.

27.02.2012, 17:53

martinio

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vergebens... Big Laugh

hier der link: dim im(f) kleiner/gleich dim V

27.02.2012, 18:29

chrizke

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Ach halt, in dem Thread beweist du ja, dass die Dimension von V größer der des Bildes ist.

Was man oben braucht, ist, dass die Dimension von W größer der des Bildes ist. Das ist aber klar, da das Bild ein Unterraum des Zielraumes ist.

27.02.2012, 22:34

Zeberuus

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... Okay "einfach lösen" fällt mir halt nur etwas schwer ... muss ich bei dem Gleichungssystem zwei variable frei wählen ?

28.02.2012, 02:48

chrizke

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Nein nicht zwei sondern drei.
Das ist ja eben das Resultat aus dem Dimensionssatz von Oben.

28.02.2012, 11:34

Zeberuus

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MMh okay ich habe jetzt nur zwei frei gewählt komme aber trotzdem auf das Ergebnis in meiner Lösung (die stell ich nacher rein, bin gerade unterwegs)... Naja bis dahin schonmal danke an alle Helfer!

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