Abbildungsmatrix+Basiswechsel

28.02.2012, 11:58

martinio

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Abbildungsmatrix+Basiswechsel

Hallo, ich habe hier eine typische Aufgabe zum Basiswechsel und möchte die eben schnell mit jemandem durchgehen. Mir ist manchmal nicht ganz klar was nun eine "Komponente" im Basiswechsel (Transformationsabbildung z.B. ) tut.

Also hier der erste Teil der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} Es sei \alpha: \mathbb R^3 \longrightarrow \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, die unter den Standardbasen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ die folgende Darstellung hat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 &0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ich nun dazu weiß, dass in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten für die Bilder der abgebildeten Basisvektoren bezüglich der Basis im Zielraum stehen. D.h. der Standardvektor aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , sei dieser nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = e_1 \end{eqnarray*}$ hat den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und lässt sich somit als LK aus den Basisvektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ darstellen:

$\begin{eqnarray*} f(e_1)= 1 \cdot e_{1_2} + 0 \cdot e_{2_2} + 0 \cdot e_{3_2} + 3 \cdot e_{4_2} \end{eqnarray*}$

Bitte nicht verwirren lassen: $\begin{eqnarray*} e_{1_2} \end{eqnarray*}$ meint der 1. Basisvektor der 2. Standadbasis ( hier die aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ).

Ich glaube, dass ich da nun was falsch verstanden habe.
Mag jemand mir vll. helfen?

28.02.2012, 12:40

Cel

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Dann machen wir mal wieder eine Aufgabe zusammen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist doch bisher alles richtig, was meinst du denn, wäre falsch.

28.02.2012, 12:48

martinio

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hey cel!

Wink

Wenn ich mir das hier mal angucke:
$\begin{eqnarray*} f(e_1)= 1 \cdot e_{1_2} + 0 \cdot e_{2_2} + 0 \cdot e_{3_2} + 3 \cdot e_{4_2} \end{eqnarray*}$

1. Mir ist nicht ganz klar, wie aus einem Vektor in einem dreidimensionalen Raum ein Vektor eines vierdimensionalen Raums so einfach entstehen kann. Mein Prof. hat es mir mal versucht zu erklären, aber es war wie eine zweite Vorlesung...

2. Wenn ich das nun mal "ausmulitpliziere" , dann bekomme ich
ja gerade den Vektor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus,
welcher ja das Bild des $\begin{eqnarray*} e_{1_1} \end{eqnarray*}$ ist.

Darf ich dann sagen: $\begin{eqnarray*} f ( e_{1_1} ) = e_{2_1} \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} f \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Warum gibt es dort keine Komplikation mit den Dimensionen?

28.02.2012, 13:21

Cel

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martinio, Moin! Wink

Wink

Alles, was du schreibst, ist richtig. Du machst dir Sorgen, wo keine sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst bestimmen, wo eine Abbildung hingeht. $\begin{eqnarray*} h(x,y) = \begin{pmatrix}x \\ 2x + y \\ -2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese Abbildung geht vom IR² in den IR³, das hab ich jetzt einfach bestimmt. Ich denke, du hast Probleme, dir vorzustellen, was diese Abbildung tut. So hochdimensional können wir aber nicht denken, du kannst nicht zeichnen, wie die Abbildung Punkte abbildet. Algebra ist - wie ich schon mal sagte - sehr abstrakt (aber auch die Analysis).

Guck dir auch mal meinen Artikel an: [Artikel] Abbildungsmatrizen

28.02.2012, 13:28

martinio

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Ja ich mach mir wirklich zu viele Sorgen und denke daher oft zu kompliziert.

Zu deinem Beispiel: D.h. die Punkte aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ werden dann durch die Abbildung in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ "transformiert" ?

Wenn ich dann wissen wöllte wie bei dieser Abbildung der Punkt (2,1) oder besser gesagt der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der sich auf diesen Punkt richted , im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aussieht , dann brauche ich ihn nur abbilden lassen, also:

$\begin{eqnarray*} h(2,1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2\cdot 2 + 1 \\ -2 \cdot 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig so? Bei einer linearen Abbildung müsste man wohl mehr aufpassen, oder?

28.02.2012, 14:57

Cel

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Deine Rechnung ist richtig. Es ist aber nicht (2,1), der im IR³ anders aussieht, es ist ein komplett neuer Vektor. Die Abbildung h nimmt verschiedene Vektoren und ordnet diesen neue Vektoren zu, andere aus anderen Vektorräumen.

Was meinst du mit linearer Abbildung aufpassen? Dieses h, was ich aufgeschrieben habe, ist linear.

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28.02.2012, 15:05

martinio

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okay verstanden. smile

smile

Ein anderer Tutor sagte mir, dass man auf passen muss, wenn man sich eine Abbildung kontruieren will, dass diese abgeschlossen ist bzgl. der addition und multiplikation mit skalaren ( klar! ) und zusätzlich, dass die linear abhängigen vektoren auch linear abhängig bleiben - oder sowas.

nun gut gehen wir weiter voran in der aufgabe:
Berechne die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezüglich einer anderen Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Ja also der klassische Basiswechsel, dass kann ich mir schon denken, wird nun nicht eine Transformationsabbildung gebraucht?! Hier ist genau der Punkt, wo ich ein paar "feste" Regeln brauche , falls diese exestieren.

28.02.2012, 16:07

Cel

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Du brauchst Transformationsmatrizen, genau. Hier allerdings nur von einem Raum. Das heißt, der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ behält seine Basis. Guck noch mal in dein Skript, verschiedene Profs benennen die Trafomatrizen unterschiedlich. Jedenfalls erhälst du die Trafomatrix einfach, wenn die ursprüngliche Basis die Standardbasis ist: Du schreibst die neue Basis einfach spaltenweise als Matrix, fertig. Das ist dann die Matrix S aus tigerbines Workshop: [Artikel] Basiswechsel

28.02.2012, 17:39

martinio

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also mein prof. nennt die gute abbildungsmatrix immer $\begin{eqnarray*} M_A^B \end{eqnarray*}$ , je nach dem wobei A aus U und B aus V. U,V Vektorräume - also ich hab mir da immer gemekrt, dass die Basis "woher man kommt" nach unten geschrieben wird und die Basis "wohin man will" immer nach oben.

Wenn ich das nun richtig erkannt habe, falls sich nur eine Basis ändert, muss man wissen in welchem Raum sie das tut: Defbereich oder Zielbereich. Für diesen einfachen Basiswechsel brauche ich dann nur eine Tranformationsabbildung in dem jeweiligen Raum.

Die Transformationsabbildung definiert mein Prof. dann so:

$\begin{eqnarray*} T_{A'}^{A} := (\Phi_A')^{-1} \circ (\Phi_A): K^n \longrightarrow K^n \end{eqnarray*}$
wobei A' und A Elemente aus U sind - A' ist die Basis die für A nun ins spiel kommt.
D.h. die Tranformationsabbildung ist eine Komposition aus zwei Koordinatenabbildungen, diese definiert mein Prof. wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \Phi_A := K^n \ni ( \lambda_1 , ... , \lambda_n ) ^{T} \longrightarrow \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot a_n \end{eqnarray*}$
Also eine bijektive Abbildung, jedem Vektor im K-Vektorraum wird ein Skalar zugeordnet.
Frage: Wo finde ich das in obigen Beispiel?

Daran sieht man auch ganz gut , dass die Transformationsabbildung sich immer auf den gleichen Raum hier der $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ bezieht.
Demnach muss sich ja auch die Darstellungs/Abbildungsmatrix ändern, sie sollte lauten: $\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B} \end{eqnarray*}$

Das zur Theorie, klingt soweit ja ganz toll, nun kommt die Praxis.

Also der erste Schritt wäre ja zu wissen, welche Koordinaten die neue Basis im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Standardbasis hat - richtig?
Das bekomme ich ja dann durch die Linearkombinationen...
( Sei die oben genannte neue Basis A' den vekotren $\begin{eqnarray*} a'_1,...,a'_3 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} a'_1 = 0 + 1 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a'_2 = 1 \cdot e_1 + 0 + 1 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a'_3 = 1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 +0 \end{eqnarray*}$
(ich weiß hätte ich mir auch spaaren können, aber ich bin ein sehr sorgfältiger Mensch Big Laugh

Big Laugh

)
Jetzt kenne ich meine drei Koordinatenvektoren, die bilden dann ja die Spalten meiner Matrix:

$\begin{eqnarray*} T_{A'}^{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wo ist jetzt genau der Bezug hierzu?
$\begin{eqnarray*} T_{A'}^{A} := (\Phi_A')^{-1} \circ (\Phi_A): K^n \longrightarrow K^n \end{eqnarray*}$

28.02.2012, 19:44

Cel

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Vorher eine Anmerkung: Das benutzt man nicht, du hast dein T richtig berechnet (ich habe es S genannt, das meinte ich mit Bezeichnungen).

Diese Phis sind nun wie du schreibst Koordinatenabbildungen, die beiden schmeißen mit Vektoren und deren Koordinatentupeln rum. Schauen wir uns mal an, was das da passiert.

$\begin{eqnarray*} T_{A'}^{A} := (\Phi_{A'})^{-1} \circ (\Phi_A): K^n \rightarrow K^n \end{eqnarray*}$

Was packen wir rein? Einen Koordinatenvektor, $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ spuckt den zugehörigen Vektor aus. Schreibst du hier:

Zitat:

Original von martinio
$\begin{eqnarray*} \Phi_A := K^n \ni ( \lambda_1 , ... , \lambda_n ) ^{T} \longrightarrow \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot a_n \end{eqnarray*}$

Den packen wir in $\begin{eqnarray*} \Phi_{A'}^{-1} \end{eqnarray*}$ rein, was macht die Abbildung? Sie liefert uns die Koordinatenvektoren bzgl. der neuen Basis $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ , ist ja eine inverse Abbildung.

Beim Rechnen von Aufgaben macht man das aber nicht - ich habe das jedenfalls nie gemacht. Was sagte mein Tutor damals? "Guckt euch das noch mal in 2, 3 Semestern an, dann versteht ihr das." Also keine Sorge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2012, 20:07

martinio

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hehe wunderbar ! :=) danke cel Freude

Freude

damit habe ich also nun die tranformationsmatrix, was tue ich mit der? Erstmal noch reingarnichts, denke ich, erst wenn sich jetzt die basis auch im bildberreich ändert.

Sei diese neue Basis also dann $\begin{eqnarray*} B' :=\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Dort mache ich das selbe wie bei A und A' , ich bilde die Transformationsmatrix: $\begin{eqnarray*} T^{B'}_{B} \end{eqnarray*}$ mit der zugehörigen Koordinatenabbildung:

$\begin{eqnarray*} T_{B'}^{B} := (\Phi_{B'})^{-1} \circ (\Phi_B): K^n \rightarrow K^n \end{eqnarray*}$ , somit bekommen wir die Koordinatenvektoren für die Basisvektoren von B' bzgl. der Basis B, also:

aus den Linearkombinatioen ergeben sich die Spalten der Transformationsmatrix :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir zwei Transformationsmatrizen : $\begin{eqnarray*} T^{A'}_{A} \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} T^{B'}_{B} \end{eqnarray*}$ - nun ist ja die Frage, was wir mit diesen machen. Ich denke wir versuchen noch die neue Abbidlungsmatrix $\begin{eqnarray*} M^{B'}_{A'} \end{eqnarray*}$ zubestimmen.

28.02.2012, 20:55

martinio

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also ich weiß jetzt was noch fehlt, nämlich: $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B} \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix der beiden Einheitsbasen. Das können wir dann in die Form hier einsetzen:

$\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B'}(f) = T_{B}^{B'} \cdot M_{A}^{B} \cdot T_A^{A'} \end{eqnarray*}$
und dann wären wir fertig. Nun weiß ich aber nicht wie ich die stink normale Darstellungsmatrix bekommen.

28.02.2012, 21:00

martinio

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Ich bin ein Troll: Big Laugh

Big Laugh

Die haben wir ja schon ... das sind ja die Bilder der Einheitsbasis aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Stadartbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M_{A}^{B}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 &0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann alles schön zusammenbasteln und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B'}(f) = T_{B}^{B'} \cdot M_{A}^{B} \cdot T_A^{A'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 &0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \\ 5 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.02.2012, 21:20

martinio

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Fragen & Antoworten:

1. Frage:
In diesem Beispiel haben wir den Fall betrachtet, dass wir von zwei Standardbasen mit Einheitsvektoren ausgehen. Was wäre wenn B und A keiner dieser gewesen wären?
Grundsätzlich hätte sich nichts geändert für den Fall $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B} \end{eqnarray*}$ zubestimmen. Wir tragen stets die LK der Basisvektoren aus A bzgl. der Basis aus B in die Spalten der Matrix ein , sprich:
$\begin{eqnarray*} a_n = \sum\limits_{ki1}^n \lambda_i b_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in [0,n] \end{eqnarray*}$

2.Frage:
Für den Fall obigen genannten Fall , wie verhält es sich mit den Transformationsabbildungen?
Ich denke, es ändert sich wieder nichts. Wir gehen nach der "Regel" wie unsere Transabbildung definiert ist:
$\begin{eqnarray*} T_{A'}^{A} := (\Phi_A')^{-1} \circ (\Phi_A): K^n \longrightarrow K^n \end{eqnarray*}$
D.h. wir nehmen unsere Koordinatenabbildung bzgl. der alten Basis und erhalten wie gewünscht die Vektoren, diese werden dann weiter tranformiert zu Koordinatenvektoren bzgl. der neuen Basis. Einfacher gesagt, wir finden die Linearkombinationen , welche wieder die Spalten bilden.

3.Frage
Für den Fall, dass wir eine Abbildungsmatrix finden wollen der Form $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B'} \end{eqnarray*}$ , d.h. die alte Basis im Definitionsberreich bleibt gleich - keine Transformation , jedoch die alte Basis im Zielberreich B ändert sich per Transformation zu B'. Wie muss nun die neue Abbildungsmatrix aussehen?
Möglicherweise so? $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B'} = T_{B}^{B'} \cdot M_{A}^{B} \end{eqnarray*}$

4.Frage
Ich sehe andauernd , dass irgendetwas ivertiert wird. Magst du mir da mal auf die Sprünge helfen?

28.02.2012, 22:19

martinio

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habe noch eine sache die mich verwirrt:
im skript steht:
$\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B'}(f) = T_{B}^{B'} \cdot M_{A}^{B} \cdot ( T_A^{A'} ) ^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Warum wird die transformationsmatrix invertiert?

verwirrt

Habe ich was falsch verstanden?

29.02.2012, 00:18

IfindU

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Hatte gehofft mich nach Lineare Algebra mich nie wieder mit Basen rumschlagen zu müssen. Sei vorsichtig was ich hier schreibe, ist vermutlich falsch

1. Frage
Theoretisch könnte man natürlich beide Basen in die Standardbasis transformieren, und dann bist du in der gleichen Ausgangslage wie vorher. D.h. im Notfall gibts immer einen längeren Weg der zum bestimmen. Ansonsten ja, man will die alten Basisvektoren durch die neuen darstellen, daher die Linearkombination. Kleine Anmerkdung, die Summe sollte wohl lauten: $\begin{eqnarray*} a_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$ .

2.
Sehe nicht wirklich, wie es sich von der 1. unterscheidet.

3. Frage
$\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B'}(f) = T_{B}^{B'} \cdot M_{A}^{B} \cdot ( T_A^{A'} ) ^{-1} \end{eqnarray*}$
Du musst das von rechts lesen: du wendest von rechts einen Vektor an, in der Basis $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann wird sie über das Inverse auf Basis A transformiert, dann wird die Abbildung M angewandet, und wird auf Basis B geschickt (ggfs. anderer Raum), dann wird T benutzt um es auf die Basis B' geschickt.

4. Frage:
$\begin{eqnarray*} (T_{A}^{A'})^{-1} = T_{A'}^{A} \end{eqnarray*}$
Damit könnte man invertieren übergehen.

Hoffe ich konnte etwas beantworten.

29.02.2012, 00:27

martinio

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ich habe gerade eben die Lösungen für die Aufgabe bekommen. das ergebnis stimmt.
dort habe ich aber nicht invertiert!
wann muss ich also $\begin{eqnarray*} (T_{A}^{A'})^{-1} = T_{A'}^{A} \end{eqnarray*}$ anwenden? sprich invertieren?
ändert sich dadruch auch die reihenfolge?

29.02.2012, 00:29

martinio

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3. Frage
$\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B'}(f) = T_{B}^{B'} \cdot M_{A}^{B} \cdot ( T_A^{A'} ) ^{-1} \end{eqnarray*}$
Du musst das von rechts lesen: du wendest von rechts einen Vektor an, in der Basis $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann wird sie über das Inverse auf Basis A transformiert, dann wird die Abbildung M angewandet, und wird auf Basis B geschickt (ggfs. anderer Raum), dann wird T benutzt um es auf die Basis B' geschickt.

Ich meinte aber, dass sich im Def.berreich nichts an der Basis ändert nur im Zielberreich, sprich dass A auf B' abbildet.

29.02.2012, 00:35

IfindU

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Normalerweise willst du nicht alle Matrizen T berechnen, wenn du die andere Richtung brauchst, kannst du es einfach invertieren, statt eine komplett neue für die Rückrichtung aufzustellen.

Und ich würde sagen, die Formel im Skript stimmt, weil sie konsistent im Vergleich zu deiner ist.

Und nein, die Reihenfolge ändert sich natürlich nicht.

Edit: (Bitte benutz auch die Edit-Funktion, wird sonst unübersichtlich)
$\begin{eqnarray*} M_{A'}^{B'}(f) \end{eqnarray*}$ bildet die Abbildung f von Basis A nach B auf die Abbildung f' ab, die von Basis A' nach B' geht. Verstehe gerade nicht was du genau meinst.

29.02.2012, 00:41

martinio

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hat sich glaube ich geklärt. ich brauche die Inverse zur Transfo. A oder B , wenn ich mich in ein und dem selben Vektorraum aufhalte. so stehts auch im Skript... mehr oder weniger.

1

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