Äquivalenzklassen

18.01.2007, 19:46	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen Gruße! Es geht mir um eine Aufgabe, bei der ich nicht so genau weiß, was ich tun soll. Ich habe in einer vorherigen Aufgabe eine Äquivalenzrelation gezeigt. Das war wie folgt: sei $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ein festes Polynom als Element des Polynomrings über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} p\sim q \Leftrightarrow \exists\ h\ :\ rh=p-q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h,p,q\in \end{eqnarray}$ des Polynomrings. Jetzt soll ich in dieser Aufgabe zeigen, dass die Definitionen der Addition und Multiplikation von Äquivalenzklassen wohldefiniert sind, mit den Definitionen: $\begin{eqnarray} [p]+[q]:=[p+q] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [p]\cdot[q]:=[p\cdot q] \end{eqnarray}$ Wie soll ich diese Aufgabe angehen? Was genau meint "wohldefiniert" in diesem Zusammenhang? Vielen Dank! Cordovan
18.01.2007, 20:21	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ist gemeint, dass die Addition bzw. Multiplikation unabhängig von dem Repräsentanten der jeweiligen Äquivalenzklasse ist. Nimm einfach jeweils andere Repräsentanten und zeige, dass das "gleiche" herauskommt (Wohldefiniertheit).
19.01.2007, 22:48	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich schreibe einfach mal, was ich mir für die Addition gedacht habe. Also, seien $\begin{eqnarray} [p']=[p] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [q']=[q] \end{eqnarray}$ , außerdem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray}$ der Polynomring. Es ist $\begin{eqnarray} [p']=\{a\in~ \mathbb{R}[x] \|a\sim p'\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [q']=\{b\in~ \mathbb{R}[x] \|b\sim q'\} \end{eqnarray}$ Dann folgt aus meiner Äquivalenzrelation: $\begin{eqnarray} \exists~h_1\in~\mathbb{K}[x]\|h_1r=a-p' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \exists~h_2\in~\mathbb{K}[x]\|h_2r=b-q' \end{eqnarray}$ Addition der beiden Gleichungen führt zu $\begin{eqnarray} (h_1+h_2)r=(a+b)-(p'+q') ~\Rightarrow~r\|(a+b)-(p'+q') ~\Rightarrow~(a+b)\sim(p'+q')~\Leftrightarrow~[p'+q'] \end{eqnarray}$ Ich habe keine Ahnung, ob ich das so richtig gemacht habe. Hilfe? Cordovan
19.01.2007, 23:29	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, analog zeigst du $\begin{eqnarray} a+b \in [p+q] \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} [p'+q']=[p+q] \end{eqnarray}$ .

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