Lineare Abbildung und Darstellungsmatrix bzgl Standardbasen

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MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung und Darstellungsmatrix bzgl Standardbasen
Meine Frage:
Aufgabe:

Es seien , , und Vektoren des

a)
Zeigen Sie, dass es eine eindeutige lineare Abbildung f: -> mit
gibt, und berechnen Sie ihre Darstellungsmatrix A bezüglich der Standardbasen des und .

b)
Wie betrachten nun die Basis des und des . Berechnen Sie die Darstellungsmatrix B von f bezüglich Ihrer Basen.

Meine Ideen:
Hallo zusammen,

a)
Um die lineare Abbildung zu zeigen, gilt ja allgemein, dass man zeigen muss, dass f(a+b) = f(a) + f(b) ist. Muss man hier nun zeigen, dass f(a+b+c+d) = f(a)+f(b)+f(c)+f(d) ist?
Außerdem finde ich nur Beispiele und Erklärungen, wo eine "Übergangsformel" gegeben ist, welche den 3D Vektor in den 2D Vektor überführt..

Zur Darstellungsmatrix: Ich weiß, dass man erstmal den 3D Vektor ins 2D überführt, die Ergebnisse sind ja auch schon gegeben. Anschließend stellt man die Ergebnisse als Linearkombination der Standartbasen bzw der gegebenen Basen des R^2 dar.
Aber was ist damit gemeint, sie auch bezüglich der Standardbasis des R^3 darzustellen?!

Als Darstellungsmatrix bzgl der des R^2 habe ich:
Ist diese soweit richtig?


b)
Muss man hierbei einfach das selbe machen wie in a, nur statt mit den Standardbasen mit den gegebenen? Und auch hier wieder: WOZU die des R^3?!


Hoffe das mit LAtex hat soweit geklappt und bitte um schnelle Hilfe, langsam verzweifel ich an diesem Thema!

Schonmal Danke,
Marcel
bensa Auf diesen Beitrag antworten »

HI Marcel,

also erstmal zur a). Deine Darstellungsmatrix ist leider falsch. Das kannst du alleine daran sehen, dass du eine 2 kreuz 4 Matrix raus hast und die Abbildung f aber einen Vektor vom in den überführt, also eine 2 kreuz 3 Matrix ist (Überleg dir nochmal wie die darstellende Matrix einer linearen Abbildung definiert ist -> in den Spalten der Matrix stehen die Bilder deiner Basisvektoren...).

Um die a) zu lösen, würde ich einfach ein Gleichungssystem aufstellen. Du kannst dir eine allgemeine 2 kreuz 3 Matrix aufstellen und dann die entsprechenden Bedingungen aufstellen. Zum Beispiel die erste Bedingung für a:

Löst du die Gleichungen auf erhältst du die darstellende Matrix von f. Dabei musst du nicht nochmal extra überprüfen, dass diese linear ist.

In b) musst du eigentlich nochmal genau dasselbe wie in a machen. Nur musst du vorher die Koordinaten deiner Vektoren bzgl. der neuen Basisvektoren darstellen.

Gruß

bensa
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo bensa,

wenn ich die Gleichung für jeden Vektor löse, bekomme ich doch 4 2x1 - Matritzen die bei f(a) so aussehen:



Kann sein, dass ich völlig auf dem Schlauch stehe, aber was genau hab ich davon, wenn ich vier Matrizen dieser Art habe?

LG


edit:
Und welches Ergebnis stelle ich dann bzgl der Basisvektoren dar und vor allem WIESO bzgl der des R^3 ?
bensa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MarOl1992
wenn ich die Gleichung für jeden Vektor löse, bekomme ich doch 4 2x1 - Matritzen die bei f(a) so aussehen:



Kann sein, dass ich völlig auf dem Schlauch stehe, aber was genau hab ich davon, wenn ich vier Matrizen dieser Art habe?


Dann hast du ein Gleichungssystem ,was du nur noch nach den Unbekannten auflösen musst und dann hast du die darstellende Matrix von f. Über die Basis musst du dir in der aufgabe a) keine weiteren Gedanken machen. Wenn keine Basis angegeben ist ( so wie in b) ), dann kannst du einfach annehmen, dass deine Vektoren aus dem R2 und R3 bzgl Standardbasen gegeben sind. Dementsprechend ist dann auch deine darstellende Matrix die du über die Gleichungen erhältst bzgl. der Standardbasen gegeben ( guck dazu mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...bbildungsmatrix).

Gruß

bensa
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Modulprüfung wurde heute geschrieben, aber dort kam es zum Glück mit einer gegebenen Funktion vor, daher hab ichs hinbekommen.

Jetzt hab ich deinen Beitrag gelesen und es auch ohne die Funktion verstanden denke ich, ich danke dir Augenzwinkern

LG
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