Diagonalisierbarkeit

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lösungsfinder Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit
Meine Frage:
Ich habe folgende Matrix gegeben:



und ich möchte prüfen, ob die Matrix Diagonalisierbar ist und die Diagonalmatrix dazu angeben.

Meine Ideen:
Zunächst glaube ich so etwas in Erinnerung zu haben das, wenn eine Matrix Symmetrisch ist sie auch Diagonalisierbar ist, dass ist ja hier der Fall.

Und ich glaube ich benötige die Eigenwerte der Matrix daher habe ich hier schon mal folgendes gerechnet:




und hier kann man ja jetzt ablesen, dass und

Doch wie muss ich jetzt weiter machen um auf die Diagonalmatrix zu kommen?

Ich glaube ich muss dafür die LGS mit dem Lambda lösen kann das sein?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen Eigenwert vergessen. Augenzwinkern

Diagonal wird die Matrix, wenn du Eigenvektoren als Basis des IR³ wählen kannst. Es gibt 3 Eigenwerte. Schau also nach, ob die zugehörigen Eigenvektoren linear unabhängig sind.
lösungsfinder Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja natürlich

Hießt das ich müsste jetzt diese LGS Lösen:





und das natürlich auch für die anderen 2. Dann hätte ich doch die Eigenvektoren oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Joa. smile Und dann schauen, ob die eine Basis des IR³ bilden.
lösungsfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt habe ich nach dem ich alle 3 LGS berechnet habe diese Vektoren:

für lambda = 1

für lambda = -1

für lambda = 0

Jetzt könnte ich doch einfach wählen oder?

also z.B.

t = 1



t = 2



v = -3



und diese Vektoren kann ich jetzt als Basis verwenden? Aber ich glaube das ist Falsch!!!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren können keine Basis sein, die ersten beiden sind doch klar linear abhängig.

Du hast Rechenfehler drin. Der Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist korrekt. Zeig mal deine Rechnung für die anderen beiden, besonders der Nullvektor sollte dich stuzig machen - der Nullvektor ist per definitionem kein Eigenvektor.

Deine Lösung für gehört zu . Überprüfe also noch mal den Eigenwert 0.

(Ich bin jetzt gleich weg, wenn jemand mitliest und weiter helfen möchte: Gerne! Freude )
 
 
lösungsfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich weis zwar nicht ob jetzt noch einer antwortet Wink

Aber hier mal meine Rechnung:

für lambda = -1



obere Zeile -1 * letzte Zeile



mittlere Zeile -1 * letzte Zeile



und damit habe ich jetzt




und die Berechnung für lambda = 0



mittlere Zeile -1 * untere Zeile und mittlere Zeile -1 * obere Zeile




und damit hätte ich also



Also könnte ich dann wählen:



Die müssten jetzt auch linear unabhängig sein.

Wenn ich mich nicht irre bilden die ja jetzt eine Matrix



und jetzt müsste doch aus der Berechnung von P^-1 * A * P = D

und D müsste meine Diagonalmatrix sein, darauf komme ich aber irgendwie nicht, soll heißen meine berechnete Matrix hat auch Zahlen die nicht auf der Diagonalen liegen verwirrt
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Bin doch noch da. Augenzwinkern

Deine gewählten Vektoren stimmen nun, du kannst das mit den Basiswechselmatrizen machen, musst du aber nicht. Du weißt jetzt, dass deine Eigenvektoren eine Basis vom IR³ bilden, da könntest du doch die (besser gesagt: eine) Diagonalmatrix sofort angeben. Was steht denn auf der Diagonalen?

Aber wenn du das mit dem P machen möchtest: Du musst die Vektoren spaltenweise aufschreiben, du hast sie zeilenweise aufgeschrieben. Transponiere deine Matrix und siehe da ... Idee!

Edit: Jetzt hast du aber was falsches wegeditiert, ne? Augenzwinkern So sieht es besser aus. Freude
lösungsfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte das genau in dem Moment editiert in dem du geantwortet hast. smile

So jetzt aber:



Super Danke Freude
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie du siehst - auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte. smile
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