kleinste natürliche Zahl >100 berechnen

02.03.2012, 21:46

Namor11

kleinste natürliche Zahl >100 berechnen

Meine Frage:
Hallo,

und noch eine:
Nennen Sie die kleinste natürliche Zahl x>100 deren 8faches doppelt so viele Teiler hat wie x.

Meine Ideen:
Leider keinen Plan. Weiß einer zumindest das Verfahren oder Ansatz, wie man da ran geht?

02.03.2012, 22:18

NichtBekannt112

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Du könntest ja so ansetzen : Wenn du eine Zahl x folgendermaßen in ihre Primfaktoren zerlegst : $\begin{eqnarray*} a_{1}^{b_{1}}*a_{2}^{b_{2}}*...a_{n-1}^{b_{n-1}}*a_{n}^{b_{n}} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2}, ..., a_{n-1}, a_{n} \end{eqnarray*}$ seien Primzahlen). Dann lautet die Anzahl der Teiler von x : $\begin{eqnarray*} (a_{1}+1)*(a_{2}+1)*...*(a_{n-1}+1)*(a_{n}+1) \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hilft dir das ja schon mal weiter smile

02.03.2012, 22:38

Kasen75

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Hallo,

Mein Ansatz wäre der folgende. Wenn die größere Zahl 8 mal so groß ist, dann hat sie ja 3 Teiler mehr als die kleinere Zahl. Denn

a * 2 * 2 * 2 = b.

Um die Anzahl der Teiler von a und b zu ermitteln muss (kann) man die folgende Gleichung lösen:

( Man kann es sich aber auch im Kopf überlegen.)
-------------------------------------------------------------------------------------
A = Anzahl der Teiler von a
B = Anzahl der Teiler von b

A + 3 = B
2 * A = B
-------------------------------------------------------------------------------------

Wenn man jetzt weiß, wie viel Teiler A haben muss, dann kann man ausprobieren, welche Zahlen über 100 A Teiler hat. Das ist nicht so schwierig.

Wenn du was hast, seien es Anmerkungen oder (Teil-) Ergebnisse, melde dich bitte.

Mit freundlichen Grüßen

02.03.2012, 23:19

Abakus

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Hallo,

schreibt doch mal alles Wissen zusammen, was ihr über die Teileranzahlfunktion habt.

Abakus smile

02.03.2012, 23:25

Namor11

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Also die Gleichungen sind ja nur für A = 3 erfüllt.

101 hat 2 Teiler
102 hat mehr als 3
103 hat 2
104 hat mehr als 3
105 hat mehr als 3
106 hat mehr als 3
107 hat 2
108 hat mehr als 3
109 hat 2
110 wiede rmehr
111 hat 2
112 hat mehr
113 hat 2..

Ok..da hatte ich keine Lust mehr und mir überlegt wie ich auf die verfluchten 3 Teiler komme:

Ne Primzahl mit sich selbst multiplizieren! Die hier passende wäre 11x11 also 121.

Genial einfach! Vielen Dank für die Hilfe!

02.03.2012, 23:41

NichtBekannt112

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Zitat:

Original von Kasen75
Mein Ansatz wäre der folgende. Wenn die größere Zahl 8 mal so groß ist, dann hat sie ja 3 Teiler mehr als die kleinere Zahl. Denn

a * 2 * 2 * 2 = b.

Nein, leider nicht. Nehmen wir a=5, somit ist b=40.
Die Teilermenge von a ist {1; 5}, also A=2. Demnach müsste die Teilermenge der 40 aus 5 Elementen bestehen. Allerdings ist diese {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}, besteht also aus 8 Teilern.
Somit ist leider dein ganzer weiterer Ansatz hinfällig. Tut mir Leid unglücklich

Zitat:

Original von Namor11
Die hier passende wäre 11x11 also 121.
Genial einfach! Vielen Dank für die Hilfe!

Leider ist auch das falsch, die 121 hat zwar 3 Teiler, das ist richtig {1; 11; 121}, allerdings hat die 121*8=964 folgende Teilermenge {1; 2; 4; 8; 11; 22; 44; 88; 121; 242; 484; 968}, das sind also 12 Teiler.
Somit erfüllt die 121 die Vorraussetzung der Aufgabe nicht. Tut mir auch Leid unglücklich

Geh doch mal lieber über meine Idee und denke über Abakus Worte nach, vielleicht hilft dir das ja weiter.
Zur Erinnerung :

Zitat:

Original von NichtBekannt112
Wenn du eine Zahl x folgendermaßen in ihre Primfaktoren zerlegst : $\begin{eqnarray*} a_{1}^{b_{1}}*a_{2}^{b_{2}}*...a_{n-1}^{b_{n-1}}*a_{n}^{b_{n}} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2}, ..., a_{n-1}, a_{n} \end{eqnarray*}$ seien Primzahlen). Dann lautet die Anzahl der Teiler von x : $\begin{eqnarray*} (a_{1}+1)*(a_{2}+1)*...*(a_{n-1}+1)*(a_{n}+1) \end{eqnarray*}$

02.03.2012, 23:54

Namor11

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Njach..hast ja Recht. Verdammt..hm.
Durchblicke ich nicht direkt muss ich erstmal rumprobieren.

02.03.2012, 23:55

HAL 9000

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Die Teileranzahlfunktion $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist multiplikativ - das bedeutet, es ist

$\begin{eqnarray*} d(mn) = d(m)\cdot d(n) \end{eqnarray*}$

für teilerfremde natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ .

Über den Ansatz $\begin{eqnarray*} x = 2^ky \end{eqnarray*}$ mit einer ungeraden Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lässt sich damit nun über die Aufgabenbedingung $\begin{eqnarray*} d(8x)=2d(x) \end{eqnarray*}$ sofort der Exponent $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ berechnen, womit man mehr als die halbe Miete hat.

P.S.: Der Ansatz ist nicht wirklich anders als der von NichtBekannt112, er erspart nur die Betrachtung der vollständigen Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und damit auch etwas Schreibarbeit. Zum besseren Verständnis mag es aber besser sein, wenn Namor11 erstmal den vollen, langen Weg geht. Augenzwinkern

02.03.2012, 23:57

Kasen75

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Oh da habe ich was missverstanden. Ich bin von Primfaktoren ausgegangen. Deshalb kann man meinen Post getrost ignorieren. Gut das es jemand gemerkt hat.

16.03.2012, 00:17

Namor11

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Zitat:

Original von HAL 9000

P.S.: Der Ansatz ist nicht wirklich anders als der von NichtBekannt112, er erspart nur die Betrachtung der vollständigen Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und damit auch etwas Schreibarbeit. Zum besseren Verständnis mag es aber besser sein, wenn Namor11 erstmal den vollen, langen Weg geht. Augenzwinkern

Hm..ich habe jetzt noch mal überlegt...sehe aber noch nicht mal, wie ich mit diesem Ansatz auf den Exponenten y komme.

16.03.2012, 00:29

NichtBekannt112

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Also du wählst den Ansatz
$\begin{eqnarray*} x = 2^k * y \end{eqnarray*}$ (wobei x deine Zahl größer hundert ist).
Dann weißt du nach

Zitat:

Original von NichtBekannt112
Wenn du eine Zahl x folgendermaßen in ihre Primfaktoren zerlegst : $\begin{eqnarray*} a_{1}^{b_{1}}*a_{2}^{b_{2}}*...a_{n-1}^{b_{n-1}}*a_{n}^{b_{n}} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2}, ..., a_{n-1}, a_{n} \end{eqnarray*}$ seien Primzahlen).
Dann lautet die Anzahl der Teiler von x : $\begin{eqnarray*} (a_{1}+1)*(a_{2}+1)*...*(a_{n-1}+1)*(a_{n}+1) \end{eqnarray*}$ .

also auf dieses Problem angewandt Anzahl der Teiler von $\begin{eqnarray*} x (= 2^k * y) \end{eqnarray*}$ ist : $\begin{eqnarray*} (k+1)*Teiler(y) \end{eqnarray*}$ .

Nimmst du das 8-fache von x, dann ist $\begin{eqnarray*} 8*x = 8*(2^k*y)=2^3*2^k*y=2^{\left(k+3 \right)}*y \end{eqnarray*}$ .
Überlege dir nun, wie viele Teiler 8*x hat.

Dann kannst du auch die zweite Information

Zitat:

Original von Namor11
deren 8faches doppelt so viele Teiler hat wie x

einbauen : $\begin{eqnarray*} 2*[(k+1)*Teiler(y)] = \end{eqnarray*}$ Anzahl der Teiler von $\begin{eqnarray*} 8*x \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, ich konnte das verständlich formulieren, versuch den Glück nochmal smile

16.03.2012, 07:05

Namor11

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Mensch...da wäre ich nie drauf gekommen.

Naja..jetzt kann ich eben den Kram rüberbringen.

Zum Schluß hätte ich dann k = (Anzahl Teiler von 8x / 2x Teiler (y)) - 1

Gut..das könnte ich dann wieder in x = (2^k)*y einsetzen...aber wonach muss ich dann auflösen?

16.03.2012, 07:59

HAL 9000

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Es ist doch alles beisammen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Über den Ansatz $\begin{eqnarray*} x = 2^ky \end{eqnarray*}$ mit einer ungeraden Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lässt sich damit nun über die Aufgabenbedingung $\begin{eqnarray*} d(8x)=2d(x) \end{eqnarray*}$ sofort der Exponent $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ berechnen

$\begin{eqnarray*} x=2^ky \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 8x=2^{k+3}y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} d(8x)=2d(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} d\left( 2^{k+3}y \right) &=& 2d\left( 2^ky \right) \\ d\left( 2^{k+3} \right) \cdot d(y) &=& 2d\left( 2^k \right) \cdot d(y) \\ (k+4)\cdot d(y) &=& 2(k+1)\cdot d(y) \end{eqnarray*}$

Von der ersten zur zweiten Zeile wird dabei genutzt, dass die Zweierpotenzen $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2^{k+3} \end{eqnarray*}$ teilerfremd zur ungeraden Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind. Und wie es jetzt weitergeht, sollte ja nun wirklich nicht mehr schwer sein.

EDIT: Mensch...da wäre wiederum ich nie drauf gekommen - nun, am Ende doch: Du verwendest hier

Zitat:

Original von Namor11
Zum Schluß hätte ich dann k = (Anzahl Teiler von 8x / 2x Teiler (y)) - 1

einmal das x als die gesuchte Zahl, und dann wieder x als Multiplikationszeichen, alles in ein- und derselben Formel. So kann man die Leute verwirren, mal ganz abgesehen von der sträflicherweise vergessenen Umklammerung des Nenners. unglücklich

16.03.2012, 15:13

Namor11

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Pffff...ne. Da steige ich aus. Alleine wäre ich da nicht draufgekommen. Denke da muss ich noch mal back to the roots.

Ok dann noch wenigstens Berichtigung der Formel:
k = [Anzahl Teiler von 8x / (2* Teiler (y))] - 1

16.03.2012, 15:33

HAL 9000

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Wo ist denn nun noch das so schwerwiegende Problem? Wenn du $\begin{eqnarray*} d(2^k)=k+1 \end{eqnarray*}$ begriffen hast, kann doch nun $\begin{eqnarray*} d(2^{k+3})=k+4 \end{eqnarray*}$ auch nicht so schwer zu akzeptieren sein? Wo sonst drückt der Schuh?

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