Dimension eines Durchschnitts von Untervektorräumen

18.01.2007, 22:48

SilverBullet

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Dimension eines Durchschnitts von Untervektorräumen

Hab hier ne Übungsklausur und dies ist eigentlich eine leichte Aufgabe. Zumindest wenn man es so machen kann wie ich es erhoffe.

Also Augabe :

Gegeben sind :
V K-Vektorraum mit Dimension n(n größer 0 vorrausgesetzt !)

U,U' Untervektorräume von V für die gilt : dim(U) = dim(U') = n -1.

Zeige : $\begin{eqnarray*} dim_k(U \cap U') \geq n-2 \end{eqnarray*}$

Also ich hab mir gedacht das das eigentlich ganz einfach klappt mir der Dimensionsformel dannach gilt :

$\begin{eqnarray*} dim_k(U \cap U') = dim_k(U) + dim_k(U') - dim_k(U+U') \end{eqnarray*}$

Sollte das soweit stimmen dann bitte jetzt nicht lachen aber ich bekomm da kein Ergebnis raus :

$\begin{eqnarray*} dim_k(U \cap U') = (n-1) + (n-1) - ((n-1)+(n-1)) = (2n-2) - (2n-2) = 0 \end{eqnarray*}$

was mache ich denn da falsch !?! traurig

traurig

18.01.2007, 22:54

Cordovan

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RE: Leichte Aufgabe trotzdem Problem :(
Gruße!
$\begin{eqnarray*} \dim_k(U+U')\neq\dim(\dim(U)+dim(U')) \end{eqnarray*}$

Cordovan

18.01.2007, 22:56

tigerbine

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RE: Leichte Aufgabe trotzdem Problem :(
Es steckt auch noch ein Rechenfehler drin,, es käme "falsch" gerechnet 0 raus.

Betrachte mal die Basen von U und U' oder schau dir den Beweis des Satzes an.

19.01.2007, 10:45

SilverBullet

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@Tigerbine stimmt hab es editiert.

Weiß leider immer noch nicht wie ich nun dim(U+U') berechnen kann unglücklich

unglücklich

Wie kann ich denn die Dimension des von U+U' erzeugten Unterraum angeben wenn ich nicht weiß welche Vektoren die beiden gemeinsam haben ?

19.01.2007, 10:53

tigerbine

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Zunächst einmal sind es beide Unterräume des K-VR V. Dieser besitz eine Basis

$\begin{eqnarray*} B_V=\{v_1,v_2,...,v_n\} \end{eqnarray*}$

Alle Vekotren von V lassen sich als LK dieses Basis darstellen. Da die beiden Unterräumde die Dimension (n-1) haben, werden sie von (n-1) der obigen Basisvekotren aufgespannt.

Nun ein einfacher Fall wäre U = U' und somit

$\begin{eqnarray*} U \cap U' = U \Rightarrow dim(U' \cap U) = n-1 \end{eqnarray*}$

Für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} U \neq U' \end{eqnarray*}$ , so gibt es mindestens einen Basisvektor der in U aber nicht U' liegt (und umgekehrt). Kann es noch mehr geben? Aus Dimensionsgründen wohl kaum Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 10:59

SilverBullet

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Ja hab mir das einfach mal mit 5 Basisvektoren aufgemalt. Die Frage ist nur wie das als mathematischer Beweis zu schreiben ist. Das muss doch irgendwie mit der Dimformel zu schaffen sein oder kann man das nur argumentativ machen ?

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19.01.2007, 10:59

AD

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RE: Leichte Aufgabe trotzdem Problem :(
Titel geändert

19.01.2007, 11:07

tigerbine

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Deswegen mein Hinweis auf den Beweis der benutzen Formel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der argumentiert auch so Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 11:11

SilverBullet

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Ok also man muss es dann wohl echt mit einer Fallunterscheidung machen.

Wenn U=U' dann ist $\begin{eqnarray*} dim(U + U' ) = dim(U) = dim(U')= n-1 \end{eqnarray*}$ und oben in die Formel eingesetzt kommt dann für $\begin{eqnarray*} dim(U \cap U') = n-1 \end{eqnarray*}$ raus.

Wenn $\begin{eqnarray*} U \neq U' \end{eqnarray*}$ dann ist dim(U+U') = n und mit der Formel ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} dim(U \cap U') = n-2 \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 11:16

tigerbine

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Du interresierst Dich doch für die Dimension des Schnitts, oder? dafür brauchst Du die Summe nicht. die eigentliche Formel berechnet ja gerade deren Dimension aus der der Einzelnen Unterräume minus der des Schnitts Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 11:25

SilverBullet

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Hm ok also stell ich das einfach mal um.

Würde dann so aussehen :

Fall 1 :

U = U' dann ist dim(U+U')=n-1 sodass gilt :

$\begin{eqnarray*} dim_k(U \cap U') = dim_k(U) + dim_k(U') - dim_k(U+U') = n-1 + n-1 - (n-1) = n-1 \end{eqnarray*}$

Fall 2 :

$\begin{eqnarray*} U \neq U' \end{eqnarray*}$ dann ist dim(U+U') = n, sodass gilt :

$\begin{eqnarray*} dim_k(U \cap U') = dim_k(U) + dim_k(U') - dim_k(U+U') = n-1 + n-1 - (n) = n-2 \end{eqnarray*}$

Damit also $\begin{eqnarray*} dim(U \cap U') \geq n-2 \end{eqnarray*}$
Nun sag mir bitte bitte, dass das richtig ist Hammer

Hammer

19.01.2007, 11:41

tigerbine

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Also, irgendwie reden wir aneinander vorbei... Du sollst Die Formel nicht benutzen. Denn sie dient dazu die Dimension von U+U' zu bestimmen, die man nicht kennt.

Den Beweis der Aufgabe habe ich Dir oben auch schon hingeschrieben, Du musst nur noch Teil 2 ausführen.

Wenn sie nicht gleich sind, so gibt es Vektoren die in einem Unterraum liegen, aber nicht im anderen. Damit kann man einen Widerspruch konstruieren.

19.01.2007, 11:45

SilverBullet

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Also irgendwie reden wir da echt vorbei. Bin mir doch eigentlich sicher, dass ich das so mit der Formel machen kann. Deine beiden Fälle habe ich doch dadrin eingesetzt unglücklich

unglücklich

Muss kurz wech schreib aber sobald ich wieder da bin.

mfg
Marc

19.01.2007, 11:53

tigerbine

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Also Du hast eine Formel, in der 2 Terme unbekannt sind. Ich sage, Du sollst gleich den Term beweisen, den du sucht. Du willst den "Umweg" über U+U' gehen und dann die Formel benutzen.

Ich dachte nur, es wäre mit dem Schnitt einfacher.

19.01.2007, 14:07

Homer42

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sory fürs einmischen aber das interessiert micht auch.

also:

Zeige : $\begin{eqnarray*} dim_k(U \cap U') \geq n-2 \end{eqnarray*}$

wenn ich wie tigerbine argumentiere, gibt es höchstens einen vektor, der im einen liegt und nicht im anderen, somit höchstens einen vektor, der nicht im schnitt enthalten ist, also ist die dimension des schnittes natürlich mindestens=n-2
damit ist doch das prob gelöst oder habe ich ein brett vor dem kopf?

edit: summe gegen schnitt ausgetauscht.

19.01.2007, 14:22

tigerbine

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Homer: der Schnitt ist höchstens n-1, mindestens n-2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 16:27

Homer42

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äääääääähhhhhhh ja mein ich ja smile

smile

habs (hoffetnlich ausreichend) geändert dasses stimmt smile

smile

19.01.2007, 22:22

SilverBullet

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Zitat:

Ich dachte nur, es wäre mit dem Schnitt einfacher.

Naja ich halte mich meist lieber an Formeln wenn ich eine kenne da weiß man was man hat *g*.

Hauptsache ist das die Aufgabe gelöst ist denn auf den Übungsklausuren sind noch viele viele weitere Aufgaben Big Laugh

Big Laugh

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