A5 einfache Gruppe - warum?

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michaton22 Auf diesen Beitrag antworten »
A5 einfache Gruppe - warum?
Hallo zusammen,

in der VL haben wir uns den Satz + Beweis notiert, dass die eine einfache Gruppe ist. Folgerndermaßen sind wir vorgegangen:
Zuerst wollten wir die Gruppe in Konjugationsklassen zerlegen. Da die echte Untergruppe der ist, kann man aber nciht aus gleichem Zykeltyp schließen, dass zwei Elemente desselben Zykeltyps konjugiert sind. So weit, so gut.
Ich habe verstanden, dass es 15 Elemente der Ordnung 2 gibt (etwa (1)(2 3)(4 5)), und dass die Konjugationsklasse des Zykeltyps (1,2,2) ebenfalls 15 Elemente enthält. Daraus folgt, dass alle Elemente dieses Zykeltyps in einer Konjugationsklasse liegen.
Gleiches folgt für die Elemente des Zykeltyps (1,1,3). Hier hat man es mit 20 Elementen zu tun. Auch das habe ich verstanden.

Nun kommt der für mich schwierige Teil:

Es gibt 4!=24 Elemente des Zykeltyps (5) (also etwa (1 2 3 4 5)), aber 24 ist kein Teiler von 60, also können diese Elemente nicht in einer Konjugationsklasse liegen. Ok. Die Elemente müssen in mehr als einer Konjugationsklasse liegen. Ok.
Nun heißt es weiter: Da | : | = 2, können es maximal 2 Konjugationsklassen sein.

Frage 1: Warum können es maximal nur 2 Klassen sein? Mit welcher Begründung bzw. mit welcher Beziehung zu | : | = 2 ?


Wir haben also insgesamt festgestellt, dass 60=1+15+20+12+12 Ok.
Nun heißt es: 2.ter Schritt: Normalteiler sind Vereinigungen von Konjugationsklassen, die 1 enthalten und | N | ist Teiler von | G |=60. Dies geht nicht. Also ist G= einfach (und nicht abelsch).
Hier verstehe ich nur Bahnhof:

Frage 2: "Normalteiler sind Vereinigungen von Konjugationsklassen, die 1 enthalten" haben wir, soweit ich mich erinnern kann (und da ich nachgeschaut habe), nicht in der VL gehabt. Kann man diesen Satz noch anders formulieren?

Frage 3: Wie können denn mehrere Konjugationsklassen die 1 enthalten? Mit 1 ist doch id gemeint und daher der Zykel ( ). Dieser ist aber doch nur in einer Konjugationsklasse enthalten. Oder verstehe ich da etwas falsch?

Frage 4: Woher kommt die Folgerung, dass G nicht abelsch ist?

Schon mal einen großen Dank für die Hilfe!

Gruß, Michaton
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A5 einfache Gruppe - warum?
Hallo Michaton,

Zu 1):
Da den Index 2 hat, lässt sich schreiben als für ein .
Dann ist aber auch für ein beliebiges immer
Man sieht aber, dass diese beide Mengen die gleiche Mächtigkeit haben und somit sind sie gleich (dann ist ) oder sie sind nicht gleich und da ein Teiler von ist, folgt die Behauptung.

Anders kann man es auch darüber sehen, dass für Konjugiertenklassen immer gilt und zudem ein Teiler von sein muss.

Zu 2)+3):
Ein Normalteiler ist Vereinigung von Konjugiertenklassen. Punkt. Das mit der 1 hat da nichts zu suchen, denn wie Du richtig bemerkt hast ist, ist eine Konjugiertenklasse, die die 1 enthält, immer gleich {1}.

Zu 4):
Es ist leicht zu sehen, dass die nicht abelsch ist. Augenzwinkern
Die Bemerkung steht wohl deshalb da, weil die die kleinste nicht abelsche einfache Gruppe ist.

Gruß,
Reksilat.
michaton22 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

und danke für Deine Antwort.
zu 1.) Die disjunkte Vereinigung der kann ich nachvollziehen. Doch mir ist weiterhin unklar, was das damit zu tun hat, dass es höchstens 2 Konjugationsklassen mit Elementen des Zykeltyps (5) geben kann. Schließlich wendet man bei der Konjugation Elemente der und nicht der an ...

Gruß, Michaton
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A5 einfache Gruppe - warum?
Schau Dir die Zerlegung doch noch mal an:


Das sind nämlich beides -Konjugiertenklassen:
und
(Es ist )

Und entweder sind diese beiden Konjugiertenklassen gleich oder disjunkt.
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