Eulersche Formel

19.01.2007, 01:39

chris85

Eulersche Formel

Hallo,

Ich habe ein Problem bei einem Beweis der Eulerschen Formel.

Ich soll mit der Eulerschen Formel die Summen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~cos \ kt\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~sin \ kt\ (t \notin 2 \pi \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ mittels der Eulerischen Formel $\begin{eqnarray*} e^{it} = cos \ t \ + \i \ sin \ t\ \end{eqnarray*}$
In der Vorlesung haben wir $\begin{eqnarray*} cos \ t\ := Re \ e^{it} = \frac{e^{it} + e^{-it}} {2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin \ t\ := Im \ e^{it} = \frac{e^{it} - e^{-it}} {2i} \end{eqnarray*}$ definiert.

Also hab ich mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~cos \ kt\ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \ i \ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~sin \ kt\ = \sum_{k=0}^n~e^{it}* ...??? \end{eqnarray*}$

Naja und da hänge ich jetzt, die Aufsummierugnd die dahinter noch muss krieg ich nicht hin. Das blick ich jetzt einfach nicht wie ich das machen soll.
Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank

LG Chris

19.01.2007, 09:31

therisen

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RE: Eulersche Formel

Zitat:

Original von chris85
Ich soll mit der Eulerschen Formel die Summen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~cos \ kt\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~sin \ kt\ (t \notin 2 \pi \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ mittels der Eulerischen Formel $\begin{eqnarray*} e^{it} = cos \ t \ + \i \ sin \ t\ \end{eqnarray*}$

Was sollst du? verwirrt

Das Prädikat fehlt!

19.01.2007, 09:49

klarsoweit

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RE: Eulersche Formel

Zitat:

Original von chris85
Ich habe ein Problem bei einem Beweis der Eulerschen Formel.

Neben Mathe bietet auch die deutsche Sprache so manche Herausforderung. Augenzwinkern

Du hast kein Problem bei dem Beweis der Eulerschen Formel, sondern bei einem Beweis mit Hilfe der Eulerschen Formel.

Zitat:

Original von chris85
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~cos \ kt\ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \ i \ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~sin \ kt\ = \sum_{k=0}^n~e^{it}* ...??? \end{eqnarray*}$

Hier hast du einen kleinen Schritt übergangen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~cos(kt) + i \cdot \sum_{k=0}^n~sin(kt) = \sum_{k=0}^n~(cos(kt) + i \cdot sin(kt)) \end{eqnarray*}$

Jetzt die Eulersche Formel anwenden und mal an die geometrische Reihe denken.

20.01.2007, 19:47

chris85

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Kannst du mir hier vllt weiterhelfen? Soweit bin ich auch gekommen,stecke jetzt aber und weiß nicht weiter. Was soll ich als nächsten Schritt tun?

21.01.2007, 11:15

klarsoweit

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RE: Eulersche Formel
Ja was ist denn laut der Eulerschen Formel.
$\begin{eqnarray*} cos(kt) + i \cdot sin(kt) \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2007, 14:31

chris85

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laut der eulerschen formel ist das $\begin{eqnarray*} e^{(it)k} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt aber nicht wie ich damit die beiden Summen berechne.

21.01.2007, 15:27

therisen

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Aha, das willst du also machen. Wenn du mich nicht ignoriert hättest, hätte ich dir auch schon vor ein paar Tagen geholfen. Berechne $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left(\mathrm{e}^{it}\right)^k \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der geometrischen Summenformel und trenne dann Real- und Imaginärteil.

21.01.2007, 16:22

chris85

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Für die geometrische Reihe gilt doch:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(q)^k = \frac{(q)^{n+1}-1}{(q)-1} \end{eqnarray*}$

Also hier:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(e^{it})^k = \frac{(e^{it})^{n+1}-1}{(e^{it})-1} \end{eqnarray*}$

Nun ja, soweit bin ich auch schon gekommen, allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich hier weiter machen soll.

Kannst du mir bitte helfen?

21.01.2007, 16:49

therisen

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1-\mathrm{e}^{i(n+1)t}}{1-\mathrm{e}^{it}} = \mathrm{e}^{int/2}\cdot \frac{\mathrm{e}^{i(n+1)t/2} - \mathrm{e}^{-i(n+1)t/2} }{\mathrm{e}^{it/2}-\mathrm{e}^{-it/2}} \end{eqnarray*}$

21.01.2007, 17:04

chris85

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Wie kommst du darauf? Was hast du da gemacht?
$\begin{eqnarray*} ...= \mathrm{e}^{int/2}\cdot \frac{\mathrm{e}^{i(n+1)t/2} - \mathrm{e}^{-i(n+1)t/2} }{\mathrm{e}^{it/2}-\mathrm{e}^{-it/2}} \end{eqnarray*}$
Was muss man dann jetzt tun um die beiden Summen zu bekommen?

Gruß Chris

22.01.2007, 08:58

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} \frac{1-e^{i(n+1)t}}{1-e^{it}} = \frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1} \cdot \frac{e^{-i(n+1)t/2}}{e^{-it/2}} \cdot \frac{e^{-it/2}}{e^{-i(n+1)t/2}} = ... \end{eqnarray*}$

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