Aufgabe zur Form der Sym (6)

04.03.2012, 16:31

Juppie

Aufgabe zur Form der Sym (6)

Hi, ich hab hier eine Aufgabe bei der ich echt nicht weiß, wie ich da ran gehen soll... ich würde mich über ein paar Tipps oder Lösungsvorschlöge sehr freuen:

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \sigma=(1234)(56) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau \in Sym(6) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \sigma \tau \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} (i_{1} i_{2} i_{3} i_{4})(i_{5} i_{6}) \end{eqnarray*}$ ist wobei $\begin{eqnarray*} i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}, i_{5}, i_{6} \in \left\{ 1, ... ,6\right\} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden .

Ich habe schon verschieden Beispiele versucht und es stimmt wirklich immer smile

Aber ich kann das allgemein einfach nicht verknüpfen, weil ich ja nicht weiß, welches i welche Zahl ist, wie könnte ich denn anfangen?

04.03.2012, 18:35

galoisseinbruder

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Es gibt eine schöne Formel für Zyklen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Länge r, $\begin{eqnarray*} \sigma = (v_1,\ldots ,v_r) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \tau ^{-1}\sigma \tau=(\sigma (v_1) , \ldots , \sigma (v_r) ) \end{eqnarray*}$ .
Das ist dann schon die halbe Miete.

04.03.2012, 19:31

Juppie

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Da muss ich mal suchen ob die bei mir im Dkript steht :-) Danke

04.03.2012, 19:40

Juppie

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$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Länge r, $\begin{eqnarray*} \sigma = (v_1,\ldots ,v_r) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \tau ^{-1}\sigma \tau=(\sigma (v_1) , \ldots , \sigma (v_r) ) \end{eqnarray*}$ .

Naja diese Formel haben wir leider nicht...
Meinst du
$\begin{eqnarray*} \tau ^{-1}\sigma \tau=(\sigma (v_1) , \ldots , \sigma (v_r) ) \end{eqnarray*}$

so dass die Bilder ein Zykel sind? oder was bedeuten die Kommas?
also so:
$\begin{eqnarray*} \tau ^{-1}\sigma \tau=(\sigma (v_1) \ldots \sigma (v_r) ) \end{eqnarray*}$

04.03.2012, 19:47

galoisseinbruder

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Sorry da war ich etwas unaufmerksam, du schreibst Zykel ohne Komma. Denk dir die Kommas einfach weg, also

Zitat:

Es gibt eine schöne Formel für Zyklen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Länge r, $\begin{eqnarray*} \sigma = (v_1\ldots v_r) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \tau ^{-1}\sigma \tau=(\sigma (v_1) \ldots \sigma (v_r) ) \end{eqnarray*}$ .

04.03.2012, 19:51

Juppie

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Mein versuch mit dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} \sigma = (1234)(56) \end{eqnarray*}$
Also ist nach der Formel
$\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \sigma \tau = (2341)(65)=(1234)(56) \end{eqnarray*}$ ?
Kann das stimmen?

Was kann ich denn ohne diese Formel tun?

04.03.2012, 20:02

galoisseinbruder

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Was ist denn dein tau?
Außerdem ist dein sigma kein Zykel. Um die Formel auf sigma anwenden zu können muss man zumindest noch etwas argumentieren.

Ohne die Formel sehe ich keinen Weg wie man das schön zeigen kann. Die Formel ist aber relativ nützlich und auch relativ leicht zu zeigen. (vielleicht war sie ja auch in den Übungen dran?)

04.03.2012, 20:18

Juppie

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tau ist irgendwas in Sym (6)

Ich weiß nicht wie ich die Formel auf mein sigma anwenden soll, weil sigma ist ja ne Verknüpfung disjunkter Zykel, muss ich die dann auseinander ziehen? Aber wie?

04.03.2012, 20:46

galoisseinbruder

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Auseinanderziehen ist eine gute Idee. Was einfügen auch.
Den endgültigen Beweis lass ich aber dich ausknobeln.

05.03.2012, 20:21

Juppie

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Kann ich noch nen Tipp haben, ich weiß nicht wie ich das auseinanderziehen soll oder einfügen... ich hab verschiedene Elemente ausprobiert und manchmal kam da auch (12)(3456) raus, deshalb kann ich ja nicht einfach aus sigma=(1234)(56) die Transposition rausziehen...

06.03.2012, 10:17

galoisseinbruder

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Ein letzter Tipp: Schreibe $\begin{eqnarray*} \sigma = (1234)(56)= \pi \pi ' \end{eqnarray*}$ . Aber wenn ich noch mehr schreibe löse ich dir die Aufgabe vollständig.

06.03.2012, 13:15

Juppie

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Ok, danke.

Also

Sei $\begin{eqnarray*} \sigma = (a b c d)(e f), \sigma = \pi \pi' \Rightarrow \pi=(abcd), \pi'=(ef) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \sigma \tau = \tau^{-1} \pi \pi' \tau \end{eqnarray*}$

und weil $\begin{eqnarray*} id= \tau \tau ^{-1} \end{eqnarray*}$

gilt $\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \pi \pi' \tau=\tau^{-1} \pi id \pi' \tau=\tau^{-1} \pi \tau \tau^{-1} \pi' \tau \end{eqnarray*}$

Nach der Formel gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \pi \tau \tau^{-1} \pi' \tau = ( \pi(a) \pi(b) \pi(c) \pi(d)) ( \pi'(e) \pi'(f)) \end{eqnarray*}$

Ist das dann der Beweis?

06.03.2012, 13:20

galoisseinbruder

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Die Idee ist richtig nur hab ich oben einen massiven Tippfehler gemacht:

Zitat:

Es gibt eine schöne Formel für Zyklen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Länge r, $\begin{eqnarray*} \sigma = (v_1 \ldots v_r) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \tau ^{-1}\sigma \tau=(\sigma (v_1) \ldots \sigma (v_r) ) \end{eqnarray*}$ .

Ist vollkommener Unsinn, denn $\begin{eqnarray*} (\sigma (v_1) \ldots \sigma (v_r) )=\sigma \end{eqnarray*}$
Richtig heißt es natürlich:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Länge r, $\begin{eqnarray*} \sigma = (v_1\ldots v_r) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \tau \sigma \tau^{-1}=(\tau (v_1) \ldots \tau (v_r) ) \end{eqnarray*}$ .

06.03.2012, 15:09

Juppie

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Vielen Dank :-)

Dann ist es also so richtig:

Sei $\begin{eqnarray*} \sigma = (a b c d)(e f), \sigma = \pi \pi' \Rightarrow \pi=(abcd), \pi'=(ef) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \sigma \tau = \tau^{-1} \pi \pi' \tau \end{eqnarray*}$

und weil $\begin{eqnarray*} id= \tau \tau ^{-1} \end{eqnarray*}$

gilt $\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \pi \pi' \tau=\tau^{-1} \pi id \pi' \tau=\tau^{-1} \pi \tau \tau^{-1} \pi' \tau \end{eqnarray*}$

Nach der Formel gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \tau^{-1} \pi \tau \tau^{-1} \pi' \tau = ( \tau(a) \tau(b) \tau(c) \tau(d)) ( \tau(e) \tau(f)) \end{eqnarray*}$

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