Kugelgleichung erstellen |
04.03.2012, 20:35 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kugelgleichung erstellen Hi Leute, bin zurzeit am Lernen fürs Abitur und dabei kommt es bei folgender Aufgabenstellung noch zu Problemen: Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M berührt die Ebene E: x - y + 4z - 14 = 0 Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K Meine Ideen: Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde jetzt eigentlich mit hilfe des Mittelpunktes M die Gleichung aufstellen. Mein Ergebnis wäre dann: K: (x - 5)² + (y - 5)² + (z - 8)² = 114 Aber kann das wirklich schon das Ergebnis sein ? Die geben mir doch nicht zum Spaß die Ebene E ?! Ich hoffe ihr könnt Licht ins Dunkle bringen |
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04.03.2012, 20:49 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Kugelgleichung erstellen So einfach gehts natürlich nicht. Wenn Deine Kugel der geforderten Bedingung entsprechen soll, ist ihr Radius gleich welchem Abstand? |
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04.03.2012, 21:00 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Scheine grad ein Brett vorm Kopf zu haben, x² + y² + z² = r² ist es doch oder ? Kann aus der Ebene keine Bedingung für den Radius erkennen :/ |
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04.03.2012, 21:04 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, die allgemeine Form stimmt natürlich. Der Radius im Berührpunkt ist doch gleich dem Lotabstand des Mittelpunktes M von der Ebene. |
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04.03.2012, 21:10 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah, ich glaube ich weiß nun, worauf ich achten muss. Werds gleich nochmal nachrechnen, danke für die schnelle Hilfe |
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04.03.2012, 21:12 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, poste Dein Ergebnis. Irgendwer wird es sicher kontrollieren. |
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04.03.2012, 21:28 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also habe jetzt das Lotfußverfahren angewendet. Demnach habe ich meinen Punkt M als Ortsvektor genommen und den Normalenvektor als Richtungsvektor. Zwischenergebnis ist dann der Vektor (6/4/12) welchen ich dann in die Gleichung eingesetzt habe. E: 6² + 4² + 12² = 196 also r = 14 ? |
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04.03.2012, 21:34 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Verfahren ist mir nicht klar, und ich habe auch ein anderes Ergebnis. Du könntest den Normalvektor der Ebene in M einsetzen, womit eine Gerade definiert ist. Diese dann mit der Ebene schneiden, was den Lotfußpunkt ergibt. Dann den Lotabstand berechnen. Aber viel schneller geht es mit der Hesseschen Normalform; habt Ihr sicher gemacht. Du setzt M ein und erhältst den gesuchten Abstand. |
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04.03.2012, 21:45 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also wenn ich M in die HNF einsetze erhalte ich das Ergebnis 4,5 Steh grad komplett aufm Schlauch. |
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04.03.2012, 21:51 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die HNF Deiner Ebene ist doch: Jetzt setz ein. d kann(!) dabei negativ sein, das hat in diesem Fall aber keine Bedeutung. |
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04.03.2012, 21:59 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mist, hatte einen Fehler im Nenner. Also komm nachdem ich nun M in die HNF eingesetzt habe auf Und das ist dann mein Abstand der Ebene zum Kreis bzw. M |
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04.03.2012, 22:03 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig, also Dein Radius. In diesem Fall ging es auch darum, sich die Situation räumlich vorzustellen und eine Schlussfolgerung zu ziehen. Die Rechnungen dazu sind einfach. |
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04.03.2012, 22:06 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dankeschön Also muss ich nurnoch den Radius in meine Kugelgleichung mit einbauen und erhalte somit die Gleichung: K: (x - 5)² + (y - 5)² + (z - 8)² = ? |
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04.03.2012, 22:11 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nicht den Radius, sondern sein Quadrat! Oben hattest Du es richtig: r² |
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04.03.2012, 22:13 | Richthofen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah schon wieder ein Flüchtigkeitsfehler, liegt hoffentlich an der späten Uhrzeit schon Danke nochmal, jetzt hab ichs |
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04.03.2012, 22:22 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gern geschehen. |
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