Kugelgleichung erstellen

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Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelgleichung erstellen
Meine Frage:
Hi Leute,

bin zurzeit am Lernen fürs Abitur und dabei kommt es bei folgender Aufgabenstellung noch zu Problemen:

Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M berührt die Ebene E: x - y + 4z - 14 = 0
Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde jetzt eigentlich mit hilfe des Mittelpunktes M die Gleichung aufstellen.
Mein Ergebnis wäre dann:

K: (x - 5)² + (y - 5)² + (z - 8)² = 114

Aber kann das wirklich schon das Ergebnis sein ? Die geben mir doch nicht zum Spaß die Ebene E ?!

Ich hoffe ihr könnt Licht ins Dunkle bringen Augenzwinkern
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung erstellen
So einfach gehts natürlich nicht.

Wenn Deine Kugel der geforderten Bedingung entsprechen soll, ist ihr Radius gleich welchem Abstand?
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Scheine grad ein Brett vorm Kopf zu haben,

x² + y² + z² = r² ist es doch oder ?

Kann aus der Ebene keine Bedingung für den Radius erkennen :/
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die allgemeine Form stimmt natürlich.
Der Radius im Berührpunkt ist doch gleich dem Lotabstand des Mittelpunktes M von der Ebene.
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich glaube ich weiß nun, worauf ich achten muss.


Werds gleich nochmal nachrechnen, danke für die schnelle Hilfe Augenzwinkern
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

OK, poste Dein Ergebnis. Irgendwer wird es sicher kontrollieren.
 
 
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe jetzt das Lotfußverfahren angewendet.

Demnach habe ich meinen Punkt M als Ortsvektor genommen und den Normalenvektor als Richtungsvektor.

Zwischenergebnis ist dann der Vektor (6/4/12) welchen ich dann in die Gleichung eingesetzt habe.

E: 6² + 4² + 12² = 196

also r = 14 ?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Verfahren ist mir nicht klar, und ich habe auch ein anderes Ergebnis. verwirrt

Du könntest den Normalvektor der Ebene in M einsetzen, womit eine Gerade definiert ist.
Diese dann mit der Ebene schneiden, was den Lotfußpunkt ergibt. Dann den Lotabstand berechnen.

Aber viel schneller geht es mit der Hesseschen Normalform; habt Ihr sicher gemacht.
Du setzt M ein und erhältst den gesuchten Abstand.
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich M in die HNF einsetze erhalte ich das Ergebnis 4,5

Steh grad komplett aufm Schlauch.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die HNF Deiner Ebene ist doch:

Jetzt setz ein. d kann(!) dabei negativ sein, das hat in diesem Fall aber keine Bedeutung.
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, hatte einen Fehler im Nenner.


Also komm nachdem ich nun M in die HNF eingesetzt habe auf


Und das ist dann mein Abstand der Ebene zum Kreis bzw. M
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, also Dein Radius. Augenzwinkern
In diesem Fall ging es auch darum, sich die Situation räumlich vorzustellen und eine Schlussfolgerung zu ziehen. Die Rechnungen dazu sind einfach.
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön smile

Also muss ich nurnoch den Radius in meine Kugelgleichung mit einbauen und erhalte somit die Gleichung:

K: (x - 5)² + (y - 5)² + (z - 8)² = ?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht den Radius, sondern sein Quadrat! Augenzwinkern

Oben hattest Du es richtig: r²
Richthofen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah schon wieder ein Flüchtigkeitsfehler, liegt hoffentlich an der späten Uhrzeit schon Big Laugh

Danke nochmal, jetzt hab ichs Augenzwinkern
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
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