Symmetrie, Binomialkoeffizienten beweisen

04.03.2012, 20:38

Gast11022013

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Symmetrie, Binomialkoeffizienten beweisen

Meine Frage:
Hi,
ich möchte die Symmetrie des Binomialkoeffizieten beweisen.

Ich bin folgender Maßen vorgegangen.

Meine Ideen:
Leider kann ich den Binomialkoeffizienten mit Latex nicht darstellen.

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{n-k}<br /> <br /> \binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!(n-n+k)!}<br /> <br /> =\frac{n!}{k!(n-k)!} =\binom{n}{k}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
Ich hoffe ihr versteht was ich meine.
Ansonsten wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand den Latexcode für einen Binomialkoeffizienten nennt, sodass ich es editieren kann.

04.03.2012, 20:41

Iorek

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code:
1:	\binom {n}{k}

$\begin{eqnarray*} \binom nk \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} \binom nk=\binom n{n-k} \end{eqnarray*}$ zeigen wolltest, ist das in Ordnung.

04.03.2012, 20:43

Gast11022013

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Ja wollte ich.
Finde ich gut. Der erste Beweis den ich ohne Umstände hinbekommen habe. Prost

Prost

Danke.

Wink

smile

04.03.2012, 20:45

Iorek

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Man sollte eventuell noch die Voraussetzungen klären (wo kommen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ her? Gibt es weitere Anforderungen die beachtet werden müssen?), da hattest du nichts zu geschrieben, das würde aber dazu gehören.

04.03.2012, 20:47

Gast11022013

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Mist.

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} n,k \in \mathbb N <br /> n>k<br /> \end{eqnarray*}$
meinst du das so?

Edit: 1337 Beiträge. Nice. smile

smile

04.03.2012, 20:52

Iorek

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n=k ist auch noch zugelassen, also $\begin{eqnarray*} n,k\in\mathbb N,~n\geq k \end{eqnarray*}$ .

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04.03.2012, 20:55

Gast11022013

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Hast recht.

Jetzt sollte alles passen.

Nun soll ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=0 \end{eqnarray*}$ für k>n ist.

Kann ich da so argumentieren, dass dann unterm Bruchstrich eine Zahl <0 steht wovon man die Fakultät nimmt, die ja bloß für natürliche Zahlen definiert ist, also keine negativen.

Aber wieso dann 0 als Ergebnis??
Wie mache ich das am besten?

04.03.2012, 21:08

Iorek

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Überlege dir eine geeignete Darstellung mittels des Produktzeichens. $\begin{eqnarray*} \binom nk=\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac {1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots\cdot n}{1\cdot 2 \cdot \dots \cdot k \cdot (1 \cdot2\cdot\dots\cdot (n-k))}=\dots \end{eqnarray*}$ .

04.03.2012, 21:16

Gast11022013

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Verstehe ich nicht so recht. verwirrt

verwirrt

Möchtest du darauf hinaus, dass Brüche die im Nenner stärker wachsen als im Zähler gegen 0 gehen??

Aber da kommt es ja auch darauf an wie viel größer k im gegensatz zu n ist. verwirrt

verwirrt

Ich soll dieses Zeichen hier verwenden??

$\begin{eqnarray*} \prod \limits_{n}^{k} \end{eqnarray*}$

04.03.2012, 21:22

Iorek

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Irgendwo sollte ein Produktzeichen herkommen, ja. Allerdings müssen nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Laufindex vorkommen, dieser kann auch ein ganz anderer sein.

Betrachte den Bruch einmal näher, da sollte man einiges kürzen können, schreib ihn dir dann einmal um und versuche, das entstehende Produkt mittels des Produktzeichens auszudrücken.

Nebenbei: wie wurde der Binomialkoeffizient denn definiert?

04.03.2012, 21:35

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!}<br /> \end{eqnarray*}$
Wenn ich es ausschreibe und wegkürze, bleibt zum Schluss noch

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{k(n-k)!} \end{eqnarray*}$ stehen?

Hmmm...... verwirrt

verwirrt

04.03.2012, 21:38

Iorek

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Also ist $\begin{eqnarray*} \frac {5!}{3!\cdot(5-3)!}=10=\frac {5}{3\cdot (5-3)!}=\frac 56 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

10.03.2012, 14:36

Gast11022013

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Sry das ich mich so lange nicht mehr gemeldet habe.

Kann ich

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)....(k+1))}{(n-k)!}<br /> \end{eqnarray*}$
kürzen??

10.03.2012, 14:54

Iorek

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Das wäre eine Möglichkeit zu kürzen, ich würde aber empfehlen, das $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner zu entfernen.

10.03.2012, 14:57

Gast11022013

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In dieser art??

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!}\cdot\frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Oder den Bruch mit $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ erweitern?

10.03.2012, 15:00

Iorek

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Ich meinte eher, dass du aus $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ etwas kürzen könntest und am Ende nur noch $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ im Nenner hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2012, 15:07

Gast11022013

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Macht Sinn. Big Laugh

Big Laugh

Es fällt mir recht schwer vorzustellen, wie sich diese Ausdrücke kürzen lassen.

Wenn ich n! und (n-k)! kürzen möchte, dann wäre n!=n*(n-1)(n-2)...(n-k)..3*2*1

Kann ich es zu (n-k+1)! kürzen.

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-k+1)!}{k!} \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 15:14

Iorek

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Nein, das kannst du nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac {n!}{k!(n-k)!}=\frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-k)\cdot (n-k+1)\cdot (n-k+2)\dots \cdot (n-1)\cdot n}{k!\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-k)} \end{eqnarray*}$ , was bleibt also wo stehen?

10.03.2012, 15:23

Gast11022013

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Es bleibt

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-k+1)(n-k+2)...(n-1)\cdot n}{k!} \end{eqnarray*}$

stehen.

Wie man den Zähler nun weiter zusammenfasst, da habe ich gerade keine Idee.
Ich hätte ja n! und müsste davon dann das was ich vorher gekürzt habe wieder subtrahieren, oder?? Das würde ja nichts bringen.
Wahrscheinlich bin ich damit aber auf dem Holzweg. unglücklich

unglücklich

10.03.2012, 15:40

Iorek

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Wir wollen oben auch gar nichts mehr zusammenfassen, das ist so schon in Ordnung.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} \binom nk=\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot (n-k+1)}{k!}=\frac{n\cdot(n-1)\dots(n-k+1)}{1\cdot 2 \cdot \dots\cdot k} \end{eqnarray*}$

Lässt sich dafür nun eine Darstellung mittels des Produktzeichens finden?

10.03.2012, 15:46

Gast11022013

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Jetzt wird es bestimmt abenteuerlich. Ich habe mit dem Produktzeichen eigentlich noch nie so wirklich gearbeitet. Außer zu wissen was es bedeutet sind meine restlichen Kentnisse relativ beschränkt.

$\begin{eqnarray*} \prod \limits_{1}^{k} \frac{(n\cdot (n-1)....(n-k+1)}{k} \end{eqnarray*}$

Sind wenigstens die Indizes soweit korrekt.
Ich hoffe es ist nicht so grässlich falsch wie ich vermute.

In dem Buch was ich dazu lese kommt alles zum Produktzeichen nämlich erst etwas später und auch bloß recht abgespeckt.
Wenn du also nen guten link hättest der mir weiterhilft, damit du mir nicht alles vorkauen musst, wäre ich dir sehr dankbar. smile

smile

10.03.2012, 16:20

Iorek

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Die Indizes sind so nicht korrekt. Eine Erklärung gibt es z.B. auf Wikipedia.

10.03.2012, 17:14

Gast11022013

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Leider hat der link nicht sehr viel weiter geholfen.

Vielleicht ist es von Vorteil wenn ich mir erst einmal klar mache, was ich eigentlich vorhabe.

Also ich möchte ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ ist.

In wie Fern ist das Produktzeichen dort hilfreich?
Läuft es darauf hinaus, dass ich in dem Produkt eine Null habe uns somit der ganze Bruch null wird.

Würde ja sinn machen denn wenn k>n ist dann gibt es ja auch ein Teil der Summe, (n-k+...) wo n=k+.. ist. Damit würde dieser Teil Null werden und somit der Zähler Null und damit der ganze Bruch Null.
Ist die Überlegung so korrekt??
Denn der Binomialkoeffizient ist ja für $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ definiert und dann wäre auch hier n=k für eine bestimmte Stelle. Nur würde ein gewisser Rest fehlen.

Ich finde es auch irgendwie verwirrend, das obwohl ich etwas für k>n zeigen will diese Bedingung nirgends beachtet wird, oder? Immerhin hätte ich für n<k in der Form garnicht kürzen dürfen wie ich es getan habe??

Vereinfache ich den Ausdruck über das Produktzeichen? Ich verstehe nicht ganz den Sinn hinter dieser Umformung, wie es im weiterem Verlauf hilfreich seien kann.

Tut mir leid wenn ich mich dämlich und schwer von begriff anstelle und danke dir an dem Punkt schonmal für deine Geduld und die Mühe. Freude

Freude

Ich bezweifel, dass ich ohne einem weiterem Tipp deinerseits in absehbarer Zeit zum Ziel komme. traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} \prod \limits_{i=1}^{k}\frac{n-i+1}{i} \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 18:03

Iorek

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Wie kommst du denn dann auf diese Produktdarstellung? Die ist nämlich korrekt. smile

smile

Du stellst dich auf keinen Fall dämlich oder sonstiges an, solche Umformungen lernt man mit der Zeit und steigender Erfahrung.

Also, wir haben nun: $\begin{eqnarray*} \binom nk=\prod\limits_{i=1}^k \frac {n+1-i}i \end{eqnarray*}$ . Jetzt kommt $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ ins Spiel und deine Vermutung mit der 0 im Produkt; an welcher Stelle bzw. für welchen Wert von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kommt hier eine 0 ins Produkt?

10.03.2012, 18:14

Gast11022013

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WAAAS!!!!

Das war mehr oder weniger aus der not herraus gefolgert und aus dem Wikipediaartikel habe ich die Bezeichnungen raus, damit es nicht ganz so verkümmert aussieht. Big Laugh

Big Laugh

Ich würde jetzt sagen, dass eine Null im Produkt an der Stell auftaucht, wo k=n+... ist.
Also n+"ihrgendein Rest"=k da es ja unbestimmt ist um wie viel größer k als n ist.

Könntest du mir vielleicht auf die Sprünge helfen, wie ich auf dieses Produkt gekommen bin?? Ich weiß es nämlich nicht. Hammer

Hammer

Eine Null ins Produkt kommt also an der Stelle wo k=n+1 ist. Bzw. i=n+1 ist.

10.03.2012, 18:38

Iorek

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Wie du letztendlich drauf gekommen bist, kann ich dir natürlich nicht sagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine mögliche Variante:

$\begin{eqnarray*} \frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$ , zieht man das ein wenig auseinander und schreibt sich die Fakultät um bekommt man $\begin{eqnarray*} \frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots k}=\frac n1\cdot \frac {n-1}2\cdots \cdot \frac {n-k+1}k \end{eqnarray*}$ ; der Nenne wird mit jedem Bruch um eins erhöht, der Zähler jeweils um eins verringert. Dann müssen nur noch die ersten Werte angepasst werden und die Darstellung über das Produktzeichen ist fertig.

Auch richtig: für i=n+1 ist eine 0 in dem Produkt vorhanden (k=n+1 ist überflüssig, außerdem wissen wir nichts weiteres über k und n). Wenn du jetzt noch begründest, warum dieses i existiert, wäre das fertig.

10.03.2012, 18:46

Gast11022013

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Cool. So ähnlich sieht meine Notiz auf meinem schmier Zettel auch aus. Da habe ich ja mehr oder weniger korrekt gearbeitet. smile

smile

Dieses i existiert wegen dem Induktionsprinzip.
Ich würde auch sagen, dass man es aus dem fünftem Peano-Axiom folgern kann, da das Produkt ja die 1 und ihren Nachfolger enthält, was bedeutet, dass alle Nachfolger(n+1) existieren. So richtig?

10.03.2012, 18:47

Iorek

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Ne, das hat damit nichts zu tun.

i nimmt nacheinander die Werte 1, 2, 3, 4, ... , k an, warum ist da auf jeden Fall der Wert n+1 drin?

10.03.2012, 18:51

Gast11022013

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Achso...

Weil k>n ist. smile

smile

Deshalb muss auf jeden Fall ein n+1 existieren.

Dazu hätte ich zwei fragen:

Wenn $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ gefordert wäre, wäre die existenz von n+1 nicht klar, stimmts??
Und bei der Bedingung k>n ist die existenz von n+2 auch nicht eindeutig, richtig??

10.03.2012, 18:54

Iorek

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Genau, bei $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ kann auch $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ sein, ebenso ist in $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} k\geq n+2 \end{eqnarray*}$ gefordert.

10.03.2012, 19:00

Gast11022013

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Vielen, vielen Dank für die tolle Hilfe.
Hast mir nicht alles vorgekaut und mich auch mal zappeln lassen.
Hast richtig toll geholfen. Freude

Freude

Ich denke ich habe den Beweis auch komplett verstanden, wieso und warum ich das und das tue und bin bestimmt in der Lage ihn wann immer ich will zu wiederholen.
Das ist gerade nützlich, da mir wohl ab nächster Woche das große Themengebiet der Stochastik blüht und mir dort ein solch tiefer gehendes Verständnis über Symmetrie und wieso es für k>n =0 ist, es etwas erleichtert.

Der Beweis ist an der Stell fertig. Ich müsste bloß noch schreiben, dass es eine Stelle eben i=n+1 gibt für die das Produkt Null wird und es damit begründen, dass k>n ist.

Tanzen

Tanzen

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