Normalteiler Sylow

04.03.2012, 20:39

latingirl

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Normalteiler Sylow

Meine Frage:
G sei eine Gruppe der Ordnung pq (p, q prim mit p < q).
Damit wurde bewiesen, dass G eine normale q-Sylow Q hat.

Nun meine Frage: Ist dann automatisch auch {1}xQ ein Normalteiler?

Meine Ideen:
Die Frage steht im Zusammenhang mit der Aussage, dass wenn p kein Teiler von q-1 ist, dann ist P eine normale p-Sylow.

Erst unter dieser Voraussetzung ist G isomorph zu C_p x C_q.

Dabei nimmt man den Weg über ein semidirektes Produkt von C_p und C_q.
Und dann gibt es eine Aussage:
{1}xQ ist Normalteiler <=> das semidirekte Produkt ist direkt.

Kennt jemand diese Aussage???
Ist die Eigenschaft, dass p kein Teiler von q-1 ist, wirklich notwendig dafür, dass {1}xQ ein Normalteiler ist???

Danke für eure Hilfe!!!

04.03.2012, 20:59

galoisseinbruder

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Q ist eine q-SylowGruppe von G. Was ist dann {1}xQ und in welcher Gruppe soll das ein Normalteiler sein?
In $\begin{eqnarray*} C_p \times C_q \end{eqnarray*}$ ? Was ist dort Q? Oder identifizierst du G mit dem semi-direkten Produkt aus P und Q? (Dann müsste aber eines von beiden bereits NT sein.)

Zitat:

Ist die Eigenschaft, dass p kein Teiler von q-1 ist, wirklich notwendig dafür, dass {1}xQ ein Normalteiler ist

Q ist immer ein NT von G (das folgt aus den Sylow-Sätzen und p<q),
p|(q-1) stellt sicher dass P ein NT von G ist.

04.03.2012, 21:07

latingirl

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Warte kurz, ich tipp mal das Bsp. ab...

04.03.2012, 21:24

latingirl

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Viele der folgenden Aussagen werden nicht direkt begründet, da sie in Übungsaufg. gezeigt wurden:

G sei Gruppe d. Ordn. pq mit Primzahlen p<q.
Dann wissen wir das G eine normale q-Sylow Q hat, die isomorph zu C_q ist.
Eine beliebige p-Sylow P ist isomorph zu C_p.
Wegen $\begin{eqnarray*} P\cap Q=\{1\} \end{eqnarray*}$ ist |PQ|=pq, also G=PQ.
Damit ist G isomorph zu einem semidirekten Produkt (x_f) C_q x_f C_p mit einem Homomorphismus f: C_p -> Aut C_q.

Gilt zusätzlich, dass p kein Teiler von q-1 ist, so ist P ein Normalteiler von G.

Nun kommt eine Übungsaufgaben zum semidirekten Produkt ins Spiel, die lautet:
G, H Gruppen und Homomorphismus v: H -> Aut G.
{1}xH Normalteiler <=> v(h)=id für alle h aus H <=> semidirektes Produkt von G und H ist direkt

Mit dieser Aufgabe folgern wir, dass aus "p kein Teiler von q-1, und damit P normal in G" folgt, dass G isomorph zum direkten Produkt C_p x C_q ist.

Genau diesen letzten Schritt verstehen ich nicht.
Hat es vielleicht etwas damit zu tun, dass evtl. {1}xQ ein Normalteiler ist??? verwirrt

verwirrt

04.03.2012, 22:25

galoisseinbruder

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Zitat:

{1}xH Normalteiler <=> v(h)=id für alle h aus H <=> semidirektes Produkt von G und H ist direkt

Mit dieser Aussage hab ich ein Problem. Das selbe das ich in meinem ersten Post bereits angesprochen habe. Worin ist {1}xH bzw. {1}xG Normalteiler? (NT ist ein relativer Begriff der von der Gruppe abhängt in der man sich befindet).

Bei der Äquivalenzkette würde ich mich auf den mittleren Term stürzen:
Die Mächtigkeit von Aut(Q) ist q-1 und wegen $\begin{eqnarray*} p \nmid q-1 \end{eqnarray*}$ muss v(h)=id gelten.

04.03.2012, 22:27

latingirl

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{1}xH soll NT im Semiprodukt von G und H sein.

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04.03.2012, 22:32

latingirl

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Dein Schluss:
"... muss v(h)=id gelten."
ist mir noch nicht ganz klar. Warum ist das so?

04.03.2012, 22:36

latingirl

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Angewendet auf den Fall |G|=6=2x3 würde das ja bedeuten, dass G isomorph zum semidirekten Produkt von C_3 und C_2 ist. Da es für den Homomorphismus des Produkts nur 2 Möglichkeiten gibt, erhält man max. 2 Isomorphietypen für G.
Wie kommt man dabei auf C_6 und D_6???

04.03.2012, 22:42

galoisseinbruder

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Sei $\begin{eqnarray*} v: P \to Aut(Q) \end{eqnarray*}$ Hom. Betrachte |P| und |Aut(Q)|, dann solltest du sehen warum

Zitat:

"... muss v(h)=id gelten."

folgt.

Was vielleicht zur Verwirrung geführt hat, ich auch erst jetzt bemerkt habe:

Zitat:

Dabei nimmt man den Weg über ein semidirektes Produkt von C_p und C_q. Und dann gibt es eine Aussage: {1}xQ ist Normalteiler <=> das semidirekte Produkt ist direkt.

muss eigentlich so heißen:
$\begin{eqnarray*} \{1\}\times P \text{ ist NT in } Q\rtimes_{\varphi}P \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ semiderektes produkt ist direkt.

Zitat:

Wie kommt man dabei auf C_6 und D_6???

Es sind zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 6? Statt D_6 tuts natürlich genauso S_3.

P.S: Bitte vermeide Mehrfachposts. Es gibt einen Edit-Button. Und ich tu mich schwer dann außerdem schwer alle Fragen mitzukriegen, insbesondere wenn ich gerade schreibe.

04.03.2012, 22:55

latingirl

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} v: P \to Aut(Q) \end{eqnarray*}$ Hom. Betrachte |P| und |Aut(Q)|, dann solltest du sehen warum

Zitat:

"... muss v(h)=id gelten."

folgt.

Also |P|=p und |Aut(Q)|=q-1.
Der Homomorphismus v teilt jedem p aus P einen Automorphismus zu.
Es gilt ja v(P), also das Bild von v, ist eine Untergruppe von Aut(Q), d.h. |v(P)| muss |Aut(Q)|=q-1 teilen. Aber wie groß ist |v(P)|???

v muss ja kein Isomorphismus sein, das wäre perfekt, denn dann |v(P)|=p aber p teilt nicht q-1, Widerspruch...

04.03.2012, 23:07

galoisseinbruder

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Wenn in der Aufgabe p bereits Primzahl ist ist es nicht sonderlich geschickt ein Element von P auch p zu nennen.

Offenbar ist dir folgende elementare aber nicht unwichtige Eigenschaft von Hom. nicht bekannt:
Sei $\begin{eqnarray*} f: A\to B \end{eqnarray*}$ eine Gruppe. Sei $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} ord(f(a)) | ord (a) \end{eqnarray*}$ .

Ach ja, und wenn v ein Isomorphismus wäre, würde p=|P|=|Aut(Q)|=q-1 gelten.

04.03.2012, 23:11

latingirl

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Nein, ich glaub die ist mir bisher nicht untergekommen.

Ich grübel drüber in meinen Träumen ;-) und hoffe, dass ich morgen deinen Tipp verstanden habe.

Vielen Dank für deine schnellen Antworten!

05.03.2012, 07:43

latingirl

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Guten Morgen! Wink

Wink

Hoffentlich stimmt es so:

Ich betrachte ja den Homomorphismus v: P -> Aut(Q).
Da P zyklisch ist, hat jedes Elemente x aus P (außer der 1) die Ordnung p.
Also weiß man nach Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} p=o(x)\not| |Aut(Q)|=q-1 \end{eqnarray*}$ für alle x aus P.

Nun war ja dein Tipp: $\begin{eqnarray*} o(v(x))|o(x) \end{eqnarray*}$ .

Da stets $\begin{eqnarray*} o(v(x))||Aut(Q)| \end{eqnarray*}$ gilt, würde sich nun folgende "Kette" ergeben:

$\begin{eqnarray*} o(v(x))|o(x)\not||Aut(Q)| \end{eqnarray*}$ , was aber ein Widerspruch zur letzten Aussage ist.

Damit würde ich sofort schließen (wie schreib ich's am besten auf???), dass v(x)=id für alle x aus P gelten muss, da dann o(v(x))=1 und sich somit kein Widerspruch mehr ergibt, da - unmathematisch gesagt - das Teilen durch 1 ja nichts "Besonderes" ist.

Vielleicht fällt mir für den Schluss noch etwas Besseres ein...

Und noch eins:

Zitat:

Zitat:

Wie kommt man dabei auf C_6 und D_6???

Es sind zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 6? Statt D_6 tuts natürlich genauso S_3.

Gesucht sind ja Isomorphismen zum semidirekten Produkt von C_3 und C_2.
Warum könnten es genau diese beiden Typen sein??? Ich hab' ja kein direktes Produkt...

Soweit wär's das mal von meiner Seite. Warte auf Feedback!

05.03.2012, 13:02

galoisseinbruder

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Zitat:

dass v(x)=id für alle x aus P gelten muss, da dann o(v(x))=1

Genau das ist der Punkt. Die "Teilerkette" ist meines Erachtens kein schöner Weg es aufzuschrieben, hier würde ich eher so anfangen: $\begin{eqnarray*} o(v(x))|o(x) \Rightarrow o(v(x))\in \{1,p\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Gesucht sind ja Isomorphismen zum semidirekten Produkt von C_3 und C_2.

Seit wann? Gesucht hast du nach Isomorphietypen für Gruppen der Ordnung 6:

Zitat:

a es für den Homomorphismus des Produkts nur 2 Möglichkeiten gibt, erhält man max. 2 Isomorphietypen für G. Wie kommt man dabei auf C_6 und D_6?

Und ein direktes Produkt ist auch ein semi-direktes Produkt.

05.03.2012, 13:11

latingirl

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Zitat:

Zitat:

Gesucht sind ja Isomorphismen zum semidirekten Produkt von C_3 und C_2.

Seit wann? Gesucht hast du nach Isomorphietypen für Gruppen der Ordnung 6:

Gruppen der Ordnung 6 sind ja isomorph zu diesem semidirekten Produkt...

C_2 x C_3 ist ja isomorph zu C_6, klar!
Aber gilt auch, dass das semidirekte Produkt zum direkten Produkt isomorph ist? Gruppen der Ordnung 6 sind ja wie gesagt nur isomorph zum semidirekten Produkt...

05.03.2012, 13:18

galoisseinbruder

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Zu welchem semi-direkten Produkt?

Zitat:

Gruppen der Ordnung 6 sind ja wie gesagt nur isomorph zum semidirekten Produkt...

Wer hat denn diesen Schwachfug je behauptet.

Wie von dir bereits gesagt gibt es bis auf Isomorphie zwei Gruppen der Ordnung 6: $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ . Letzteres kann man als ein (wohlgemerkt es gibt im allgemeinen kein das semi-direkte Produkt zweier Gruppen) semi-direktes Produkt von $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ schreiben.

05.03.2012, 13:22

latingirl

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In meiner Aufzeichnung steht:
Jede Gruppe der Ordnung 6 ist isomorph zum semidirekten Produkt $\begin{eqnarray*} C_2 \times _f C_3 \end{eqnarray*}$ mit f: C_2 -> Aut(C_3).

05.03.2012, 13:28

latingirl

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Dein Verbesserungsvorschlag zwecks der Schreibweise leuchtet mir auch ein.

Es wäre glaub ich noch besser, wenn man schreibt:
v: C_p -> Aut(C_q)
(Kleinigkeit natürlich!)

und natürlich hat jedes Element x aus C_p (außer das neutrale El.) nur deshalb die Ordnung p, weil p prim ist, oder? [In einer zyklischen Gruppe, die keine prime Ordnung hat, können ja auch andere Untergruppen auftauchen... ?!?]

05.03.2012, 13:35

galoisseinbruder

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Zitat:

In meiner Aufzeichnung steht: Jede Gruppe der Ordnung 6 ist isomorph zum semidirekten Produkt $\begin{eqnarray*} C_2 \times _f C_3 \end{eqnarray*}$ mit f: C_2 -> Aut(C_3).

Das ist in meinen Augen sehr ungut formuliert, denn es gibt zwei verschiedene Abb. f die jeweils nicht isomorphe semi-direkte Produkte ergeben (eines davon ist das direkte Produkt).
Ob du P und Q durch isomorphe Objekte ersetzt ist ziemlich wurscht. Mach was dir da am liebsten ist.

Edit zu deinem angefügten letzten Absatz: ja.

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