lineare Unabhängigkeit

19.01.2007, 10:59

matherookie

lineare Unabhängigkeit

Hallo zusammen.

Ich hab ein Problem mit zwei Aufgaben:

1) Ich soll zeigen, dass die A:={ ln 2, ln 3, ln 5,...} aller natürlicher Logarithmen von Primzahlen linear unabhängig ist, im Vektorraum $\begin{eqnarray*} {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ .

2)Es soll gezeigt werden, dass die Menge aller Folgen die an der i-ten Stelle eine 1 haben und sonst nur Nullen und die Menge aller Folgen, die bis zur i-ten Stelle aus 1 bestehen und ab i+1 nur aus Nullen, linear unabhängig im $\begin{eqnarray*} K^{\infty} \end{eqnarray*}$ ( unendlicher Folgenraum) sind. Ausserdem soll geprüft werden, ob diese Mengen auch Basen sind.

Nun hab ich das Problem das, dass ja alles nicht endlich Mengen sind und ich hab als Kriterien meines Wissens nur die Def. einer Lin. Unabhängigen Menge
$\begin{eqnarray*} \forall a\in A: a\notin L\{A-\{a\}\} \end{eqnarray*}$ ( L = Lineare Hülle)

Und A ist linear Unabhängig $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall \{a_1,a_2,...,a_n\} \subseteq A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall c_1,...c_n \in K \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i =1}^{n} c_i a_i = 0 \leftarrow c_1=...c_i=0 \end{eqnarray*}$

ich hab schon an vollst. Induktion gedacht, aber wirklich weiter bin ich damit auch nicht gekommen.

Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich da weiter komm?

20.01.2007, 00:29

Abakus

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RE: lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von matherookie
1) Ich soll zeigen, dass die A:={ ln 2, ln 3, ln 5,...} aller natürlicher Logarithmen von Primzahlen linear unabhängig ist, im Vektorraum $\begin{eqnarray*} {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du einen dieser Logarithmen als endliche Linearkombination von anderen darstellst, müsstest du daraus ein Widerspruch folgern.

Um den zu kriegen, brauchst du noch Rechenregeln für Logarithmen.

Versuchs also mal indirekt.

Grüße Abakus smile

20.01.2007, 18:49

matherookie

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Hallo Abakus, vielen Dank für die Antwort!!! Freude

die hab ich jetzt schon und die lineare Unabhängigkeit der anderen beiden auch, nur die Frage ob die beiden auch Basen sind bereitet mir noch etwas Kopfzerbrechen.

Ich muss doch "einfach" zeigen, das jeder vom Nullvektor versch. Vektor !eindeutig! als Linear Kombination von Vektoren dieser Mengen dargestellt werden kann, und das klappt doch meiner Meinung nach ganz gut, oder?

Gruß Daniel.

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