Determinante einer Matrix negativ, positiv oder egal?

06.03.2012, 12:07	nobody79	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer Matrix negativ, positiv oder egal? Hallo Meine Frage: Ist es egal ob die Determinante, wenn ungleich Null, negativ oder positiv ist? Wenn man bei einer 5x5 Matrix vor detA Gauß anwendet um Nullen in Zeile/Spalte zu erzeugen, dann kann es sein, dass die Elemente der Zeile ihre Vorzeichen wechseln. Das hängt immer davon ab, wie ich den Gauß anwende. Da gibts doch keine Grenzen. Hier meine Rechnung einer 5x5 Matrix aus einer alten Klausur: [attach]23408[/attach] Laut Musterlösung kommt 69 raus. Wo ist der Fehler? zweite Frage: Kann Die Determinante auch vielfache einer Zahl sein? Also schauen wir uns Schritt 4 meiner Rechnung an: Wenn ich nicht durch 5 geteilt hätte, wäre das Ergebnis: -345. Oder gib es beim Gauß Algorithmus bestimmte Regel die ich in meiner Rechnung nicht beachtet habe? danke!
06.03.2012, 12:29	Schmax	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß bei Determinante? Das darf man nicht. Die Determinante ist immer eindeutig. Gauß-Elimination hat mit der Determinantenberechnung nichts zu tun. Mir scheint, dass was du tust etwas mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz zu tun haben, aber der geht ganz anders.
06.03.2012, 12:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man muss eben mit berücksichtigen, wie sich durch Gauss die Determinante ändert. Aber dazu gibt es ja auch Regeln. http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Eigenschaften Aber man würde das so nicht ausrechnen, sondern wie schon gesagt wurde über Laplace.
06.03.2012, 12:36	nobody79	Auf diesen Beitrag antworten »
aha. Seltsam. Uns hat man gelehrt, wenn du den Wert einer großen Determinante berechnen willst, solltest du vorher "Nullen" in der Matrix erzeugen und zwar mit Gauß. Dann, wenn außreichend Nullen vorhanden sind, kannst du Laplace auf die Zeile/Spalte mit vielen Nullen anwenden. Was ist daran falsch???
06.03.2012, 12:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformungen mit Gauss sind in der Regel keine Äquivalenzumformungen. Daher verändert sich die Determinante. Das musst du eben berücksichtigen, dazu hatte ich dir dir Regeln verlinkt.
06.03.2012, 13:55	nobody79	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, du meinst diese Regeln: 1 Ist A eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von A. 2 Falls B sich aus A ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist det B = -det A 3 Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det B = det A. 4 Falls B sich aus A ergibt, indem man ein c-faches einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist det B= c.det A. Wobei ich die 3 und 4 Regel nicht ganz verstehe. Warum bleibt in 3-Regel det B = det A wenn es um "Vielfaches" geht aber in 4 Regel det B = c det A? Das widerspricht sich doch. Um vielfache der einen Spalte zu der anderen Spalte zu addieren, muss ich doch die eine Spalte vorher mit c multiplizieren. Ich versteh es irgendwie nicht! Und was ist, wenn ich mit negativen Zahl multipliziere? Diese beide Regeln verwirren mich.
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06.03.2012, 15:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1,2,4 sind klar, oder? Bei 3 wird das Vielfache zu einer "anderen" Zeile addiert. Bei 4 ist es "dieselbe" Zeile.
06.03.2012, 16:01	nobody79	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, das habe ich ja verstanden: Das wäre in meinen Bsp der erste Schritt. Und genau ab da habe ich meine Problem mit dieser Regel. Wenn ich den ersten Schritt so lasse mit 2.Zeile mal (-1) und 1.Zeile mal 2 plus 2.Zeile dann sind es ja eigentlich zwei Schritt: 1.Schritt: 2.Zeile mit (-1) multipliezieren. Was laut 4.Regel zu -det A führen sollte. 2.Schritt: 2-fache der 1.Zeile zu 2.Zeile addieren. >3 Regel< Also müsste es dann im endeffekt zu -detA führen, wobei A ist die 2.Matrix aus meiner Rechnung. Oder ich multipliziere 1.Zeile mit (-2) und addiere sie zu 2.Zeile. Dann habe ich ja laut 3.Regel (-2)fache der 1.Zeile zu 2.Zeile addiert. Und somit kommt man zu det A, wobei A ist die 2.Matrix aus meine Rechnung mit umgedrehten Vorzeichen in 2.Zeile. Also passt. Richtig! jetzt habe ich es verstanden. :-)

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