lineare Abbildungen |
| 06.03.2012, 13:19 | ipgerfbru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lineare Abbildungen Hallo, ich hatte mich neulich gefragt ob alle Eigenschaften die für lineare Abbildungen von einem K-Vektorraum V -> V gelten, auch für Abbildungen von V -> W angewendet werden können. Ein Beispiel : In einem K Vektorraum mit einer linearen Abbilung f : V -> V gilt automatisch das f bijektiv ist, wenn f injektiv ist. Das steht so in unserem Skript mit anderen Äquivalenzen. Ist das nun alles auf lineare Abbilungen von V -> W übertragbar? Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe. Meine Ideen: |
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| 06.03.2012, 13:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen Was bedeutet denn injektiv und was bijektiv? Nun überlege selbst, seien V und W von endlicher Dimension, wie man da schnell zu einer Antwort auf deine Frage kommen kann. |
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| 06.03.2012, 13:42 | ipgerfbru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen ja gut wenn f injektiv ist gilt dim(ker(f)) = 0 also laut dimensionsformel dann dim des definitionsbereichs = dim der Zielmenge, wenn dim(V) = dim(W) gilt wiederum f ist bijektiv. Jedoch bin ich mir trotzdem nicht sicher ob alle Eigenschaften die für f: V -> V gelten automatisch für f: V -> W gelten. Danke auf jedenfall für diesen Tipp!! |
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| 06.03.2012, 13:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen Nein, bitte elementarer arbeiten. Nur mit den Definitionen. Worin unterscheiden sich injektiv und bijektiv? |
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| 06.03.2012, 13:57 | ipgerfbru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen eine Abbildung ist bijektiv wenn sie zusätzlich surjektiv ist... Soll das heissen, dass man bei linearen Abbildungen f: V -> V weiss das sie surjektiv sind und deshalb automatisch darauf schliessen kann das eine injektive Abbildung bikektiv ist? Wenn das so ist, gilt keinesfalls das Eigenschaften die für lin. Abbildungen f: V -> V gelten, auch auf f: V -> W anzuwenden sind... Stimmt das? |
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| 06.03.2012, 14:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen So ist es. Der Satz auf den du dich beziehst, schenkt dir bei surjektiv das inkjektiv und umgekehrt. Aber haben V und W unterschiedliche Dimension, so baust du dir leicht einen Widerspruch. |
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| 06.03.2012, 14:25 | ipgerfbru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen Jetzt bin ich ein wenig verwirrt, was meinst du mit "so baust du dir leicht einen Widerspruch"? Also das dieser Satz nun nur bei Surjektivität funktioniert und deshalb nur wenn Definitionsbereich = Zielmenge gilt , habe ich verstanden. Aber warum kann ich trotzdem durch die Dimensionsformel immer auf bijektivität schliessen wenn eine Abbildung injektiv ist? Die Dimensionsformel ist ja nicht auf f: V -> V beschränkt.. |
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| 06.03.2012, 14:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildungen Sei V ein endl. dim VR mit einer Basis B. Um eine lin. Abbildung eindeutig zu beschreiben, reicht es die Bilder der Basisvektoren B anzugeben. Nennen wir diese Bildmenge B', die liegt in W. Wie viele lin. unabhängige Vektoren kann B' (Basis des Bildes der lin. Abbildung) und UVR von W maximal haben? Warum ist also surjektiv in der Regel nicht automatisch gegeben? http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz Wo kommt da denn vor. Und darum geht es ja in dem Widerspruch. 
Ergänzend: lin. Abb. sind nicht von vornherein surjektiv. Der Satz macht das als "Annahme" . Aus "" folgt "" |
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