Wahrscheinlichkeitsberechnung hinsichtlich zweier Populationen

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06.03.2012, 14:39	StDev	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsberechnung hinsichtlich zweier Populationen Hallo, kann mir eventuell jemand bei folgender Fragestellung behilflich sein? Gegeben: zwei Populationen (Männer und Frauen) mit jeweils n=10.000 (n=20.000 gesamt) die beiden Populationen sind normalverteilt (Körpergröße) Der gemeinsame Flächenanteil der beiden Verteilungskuven beträgt 10% (= 5% der Frauen sind gleich groß oder größer als 5% der kleinsten Männer). Meine Frage ist nun: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Männer auf gleich große oder größere Frauen treffen? wär klasse, wenn mir hierbei jemand weiterhelfen könnte LG
06.03.2012, 17:41	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
für die Frauen nehmen wir mal die Normierte Normalverteilung an. Wegen der Überlappung ist der Erwartungswert der Männer ca um 4 grösser ( 21.96) Damit eine Frau grösser als ein Mann ist, muss die Wkt ihrer Grösse mit der Wkt multipliziert werden, dass irgendein Mann kleiner ist. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac {1} {\sqrt {2\pi}}e^{-\frac {x^2}{2}} \end{eqnarray}$ Dichte der Frauen (Rot) $\begin{eqnarray} m(x)=\frac {1} {\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(x-4)^2}{2}} \end{eqnarray}$ Dichte der Männer (Grün) $\begin{eqnarray} p(M<F) = \int_1^3 \int_x^1f(x)m(t)\, \dd t \, \dd x \approx 0.03% \end{eqnarray*}$ Die Grenzen sollten noch weiter gehen, aber zwischen 1 und 3 liegt der relevante Teil. Sonst würde die numerische Berechnung unnötig verlängert. ohne Gewähr!
06.03.2012, 18:11	StDev	Auf diesen Beitrag antworten »
super vielen lieben Dank Dopap - das hilft mir sehr weiter! danke für die schnelle und aufschlussreiche Antwort! glg
06.03.2012, 18:28	StDev	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht kannst du mir nochmals helfen, wenn ich das Beispiel noch konkreter mache: Gegeben: zwei Populationen (Männer und Frauen) mit jeweils n=10.000 die beiden Populationen sind normalverteilt (Körpergröße) Männer: Mean: 180 cm, StDev 10 Frauen: Mean 165 cm, StDev 7 A) Wie hoch ist bei obigen Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass Männer auf gleich große oder größere Frauen treffen? B) wie wieviel % der Frauen und Männer sind bei diesem Beispiel gleich groß? Vielen Dank! LG
06.03.2012, 21:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt zu realen Werten. Damit eine Frau grösser als ein Mann ist, muss die Wkt ihrer Grösse mit der Wkt multipliziert werden, dass irgendein Mann kleiner ist. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac {1} {0.07\sqrt {2\pi}}e^{-\frac {(x-1.65)^2}{2\cdot 0.07^2}} \end{eqnarray}$ Dichte der Frauen (Rot) $\begin{eqnarray} m(x)=\frac {1} {0.1\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(x-1.8)^2}{2\cdot0.1^2}} \end{eqnarray}$ Dichte der Männer (Grün) $\begin{eqnarray} p(M<F) =\bigg \| \int_{1.4}^{1.9} \int_x^{1.4}f(x)m(t)\, \dd t \, \dd x \bigg \| = 10.9% \end{eqnarray}$ Die Grenzen sind diesmal noch ein wenig weiter gefasst. Wenn das realistische Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind, dann sind die 11% auch plausibel. ohne Gewähr!
07.03.2012, 08:02	StDev	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen lieben DANK, Dopap!
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07.03.2012, 09:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann und sollte das einfacher lösen. Wenn 2 Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ normalverteilt sind mit Mittelwerten $\begin{eqnarray} \mu_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_2 \end{eqnarray}$ und Standardabweichungen $\begin{eqnarray} \sigma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma_2 \end{eqnarray}$ , dann ist auch deren Differenz $\begin{eqnarray} D=M-F \end{eqnarray}$ normalverteilt mit $\begin{eqnarray} \mu = \mu_1 - \mu_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma =\sqrt {\sigma_1^2 +\sigma_2^2} \end{eqnarray}$ Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann kleiner als eine Frau ist, ergibt sich so zu $\begin{eqnarray} P(M<F)=P(D<0)=\mathcal N (0\|15, \sqrt {149}) =\Phi (-15/\sqrt {149}) \approx 10.96 % \end{eqnarray}$
07.03.2012, 15:02	StDev	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke dir Huggy für den zweiten Lösungsweg! Irgendwie bin ich trotzdem noch im Unklaren - die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann kleiner ist als eine Frau bzw. eine Frau größer ist als ein Mann liegt bei 10,96%. Aber dies bezieht sich nun auf P(M<F) bzw. P(F>M) jedoch nicht auf P(M<=F) bzw. P(F>=M) . Hierbei (also Frau ist größer oder gleich groß wie ein Mann bzw. Mann ist kleiner oder gleich groß wie eine Frau) müsste die Wahrscheinlichkeit höher als 10,96% sein oder liege ich da falsch?
07.03.2012, 15:16	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
bei stetigen (!) Verteilungen besteht kein Unterschied. Ist F(x) eine stetige Verteilungsfunktion, so gilt: $\begin{eqnarray} F(x)=p(X\leq x) \end{eqnarray}$ Bei Körpergrössen in cm-Klassen müsste vom Wortsinne her ein Unterschied bestehen. Trotzdem sollte man nicht übertreiben. Die Mittelwerte und die Varianzen sind alles statistische Daten etc. Mit p=11% ist man doch gut bedient. Wem das nicht genügt, der möge Untersuchungen über ein Vertrauensintervall dieses Wertes anstellen...

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