Quersumme

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Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »
Quersumme
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich habe 3 Ziffern und soll daraus alle möglichen 3 stelligen Zahlen bilden. Dann soll ich davon die Quersumme abziehen und erneut die Quersumme bilden:

Beispiel A 4,5,1 Quersumme 10
Beispiel B 9,6,5 Quersumme 20
Beispiel C 4,9,2 Quersumme 15

Ergibt dann für
A.: 9
B.: 18
C: jeweils 3 mal 18 und 3 mal 9

So weit so gut, aber wieso ist dass so? Ich dachte vielleicht weil ich 3 ungerade und 3 gerade Zahlen habe, aber so richtig überzeugt bin ich nicht, also wer kann mir helfen?
Vielen vielen Dank
Julia
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quersumme
Zunächst ist eine Zahl n-Q(n) immer durch 9 teilbar. Das ergibt sich wie folgt:

.

Für dreistellige Zahlen ist , ist so ist , also .

Andere Werte könne also für dreistellige Zahlen nicht angenommen werden, da immer gilt, ist n dreistellig, so ist .

Man kann sich nun überlegen, bei welchen Zahlen 18 herauskommt und bei welchen Zahlen 9 herauskommt, wie kann man die "charaktrisieren"?
 
 
Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quersumme
und jetzt ergänze ich noch eine Kleinigkeit, ich soll, dass morgen einer 3 Klasse erklären, so dass sie es verstehen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quersumme
Dazu ist es aber erst mal wichtig, dass du das auf einem gewissen Abstraktionsgrad verstanden hast.

Ich kann dir gerne dann auch dabei helfen, eine Erklärung für drittklässler zu formulieren, aber erst mal die Frage an dich:

Wie kann man di Zahlen finden, deren Quersumme 18 ist und wie die, deren Quersumme 9 ist?

Edit: Dein c) stimmt übrigens nicht:

492-15=477 Quersumme 18
429-15=414 Quersumme 9
294-15=279 Quersumme 18
249-15=234 Quersumme 9
924-15=909 Quersumme 18
942-15=927 Quersumme 18
Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »

so wie ich es mir denke ist es so, dass es bei den ziffern darauf ankommt ob sie gerade(g) oder ungerade (U)
1. U+u+G =18
2. G+G+U=9
3.G+U+U =18
4.G+U+G=9
5.U+U+G =18
6.U+U+G=18

So weit ist es mir schon klar, aber warum des genau so ist, ist mir immer noch nicht klar
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das haut bei 1.) schon mal nicht hin:

154, das ist eine Zahl vom Typ uug, aber es ist Q(154-Q(154))=9, also so einfach ist es nun nicht...
Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Das haut bei 1.) schon mal nicht hin:

154, das ist eine Zahl vom Typ uug, aber es ist Q(154-Q(154))=9, also so einfach ist es nun nicht...


Jetzt steh ich vielleicht auf dem schlauch aber 1=U, 5=U, 4=G oder etwas nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, aber die Quersumme von 154-10 ist 9 und nicht 18, oder wie habe ich das hier zu verstehen:

1. U+u+G =18

Aber vielleicht habe ich auch ein Verständnisproblem mit deiner Ausführung

Zitat:

1. U+u+G =18
2. G+G+U=9
3.G+U+U =18
4.G+U+G=9
5.U+U+G =18
6.U+U+G=18
Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok da haben wir dann an einander vorbei geredet es geht hier nur um aufgabe C und nicht um A und B. Bei A und B kommen ja jeweils 6 mal 9 für aufgabe A und 6 mal 18 für Aufgabe B raus.
Meine Frage ist warum bei aufgabe C bei den Quersummen verschiedene Werte raus kommen also 9 und 18 und nicht nur 18 oder nur 9.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wir möchten doch ganz allgemein wissen, wann die Quersumme von n-Q(n) 9 ist und wann 18, dass andere Zahlen nicht angenommen werden könne ist klar denke ich.

Das kann man den Kids folgendermaßen erklären (Kurzform):

Die größte dreistellige Zahl ist 999, diese hat die Quersumme 27, eine Zahl, die kleiner ist als 999 muss auch eine kleinere Quersumme haben (da mindestens eine Ziffer kleiner ist als 9). Da die Quersumme keiner dreistelligen Zahl 0 ist, ist jede dreistellige Zahl minus ihrer Quersumme echt kleiner als 999.

Nun hinterlässt jede Zahl bei Division durch 9 den gleichen Rest, wie ihre Quersumme, also hinterlässt eine Zahl minus ihrer Quersumme bei Division durch 9 immer den Rest 0, alos ist n-Q(n) immer durch 9 teilbar. Wir suchen also Zahlen, die durch 9 teilbar sind und kleiner sind als 27, diese sind 9 und 18.


Das ist der erste Teil einer Erklärung, die drittklässler verstehen könnten, man muss ja nicht n und Q(n) benutzen somdern kann das ausschreiben.

Nun machen wir weiter. Bei deinem Beispiel c) stimmt das zufällig, aber das ist nicht allgemeingültig, wie man leicht sieht.

Es ist viel mehr die Frage nach Division mit Rest.

Welchen Rest hiterlässt 20 bei Division durch 9?
Welchen Rest hinterlässt 10?

Welchen rest Hinterlässt 15?

Was ist mit Division durch 3?
Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu


Nun machen wir weiter. Bei deinem Beispiel c) stimmt das zufällig, aber das ist nicht allgemeingültig, wie man leicht sieht.

Es ist viel mehr die Frage nach Division mit Rest.

Welchen Rest hiterlässt 20 bei Division durch 9?
Welchen Rest hinterlässt 10?

Welchen rest Hinterlässt 15?

Was ist mit Division durch 3?


Ja so weit ist des mir auch klar, aber bei der mir gegeben aufgabe ist die genaue Frage warum ich jetzt plötzlich zwei lösungen bei fall C und zwar 18 und 9 habe und bei A und B immer nur eine bei A 9 und bei B 18.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, jetzt bist du offline und ich muss auch gleich ins Bett, also wird das wohl nichts mehr, das morgen deinen Drittklässlern zu erklären....


Aber so viel noch:

n=100a+10b+c

k=Q(n)-n=100a'+10b'+c'=99a+9b

Ist die Quersumme von k 18, so ist c'=18-a'-b', das kann man einsetzen und ein bisschen weiter "herumtricksen" und erhält 99a'+9(b'+2)=99a+9b

Analog erhält man für c'=9-a-b

99a'+9(b'+1)=99a+9b
Playmuckel Auf diesen Beitrag antworten »

Klar rumtricksen und so des kann man, aber irgendwie ist des keine richtig befriedigende Lösung. Wahrscheinlich ist die Antwort, die meine betreuungsleherin haben will primitiv und ich interpretiere viel zu viel in die frage, aber ich studiere Mathe-Lehramt fürs Gymnasium und kanns mir nicht erklären.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich doch schnell überlegen, wann die Quersumme 9 ist und wann 18

Wir betrachten einmal nur die durch 9 teibaren dreistelligen Zahlen a'b'c', es soll sein:

a+b+c=18, wir geben a vor, zum Beispiel a'=1, dann muss b'+c'=17, da b' und c' einstellig sind haben wir folgende Kombinationen:
b'=9, c'=8 und c'=8, b'=9, weiter Möglichkeiten gibt es nicht.

Nun geben wir a'=2 vor und erhalten b'+c'=16, also b'=7und c'=9, b'=8 und c'=8, b'=9 und c'=7 usw.

So kann man alle Zahlen darstellen, die die Quersumme 18 haben.

Das bringt man in Verbindung mit dem, was ich dir schon geschrieben habe und analog verfährt man mit 9.

Also alles eigentlich nur ein bisschen Herumrechnerei.

Konkret auf deine Aufgabe bezogen bedeutet das:

Bei der c kannst du die Quersumme von 9 nur genau dann erreichen, wenn die 9 an der letzte Stelle steht, in allen anderen Fällen ist a'+b'+c'>9 (da mit a=9 a'>7 und b'>2 und mit a=2 a'=2 und b'>7) also muss die Quersumme 18 ergeben.
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