Verschoben! Ableitungssatz

07.03.2012, 12:18

134340

Ableitungssatz

Ich komme bei einem Satz in Zusammenhang mit Ableitungen einfach nicht weiter. Ich verstehe weder wozu er da ist, noch was er aussagt.

Hier der Satz:
Es sei f mit $\begin{eqnarray*} x\in D \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine reele Funktion.
Jeder Punkt von D sei Häufungspunkt. f ist genau dann in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ differenzierbar, wenn es eine auf D definierte Funktion d mit folgenden Eigenschaften gibt:
1. $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) +(x-x_0)*d(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$
2. d ist in x_0 stetig

Ich habe noch so meine Probleme mit dem "Jeder Punkt von D sei Häufungspunkt." Geht das denn überhaupt?

Könnt ihr mir bitte erklären, was dieser Satz aussagen soll? smile

07.03.2012, 12:27

lgrizu

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RE: Ableitungssatz
Klar geht das, betrachte ein Intervall in IR, dann ist jeder innere Punkt des Intervalls ein Häufungspunkt.

Betrachte den Zusammenhang von Häufingspunkten und Stetigkeit.

07.03.2012, 12:55

134340

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Verstehe, ja natürlich ist jeder Punkt in IR Häufungspunkt.

Aber leider verstehe ich immer noch nicht den Sinn dieses Satzes. Was bringt mir das denn jetzt, dass ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) +(x-x_0)*d(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ ist?

07.03.2012, 13:10

lgrizu

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Deine Funktion d(x) heißt Ableitung von f(x), man könnte sie auch f'(x) nennen. Man kann $\begin{eqnarray*} f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$ als lineare Approximation auffassen, $\begin{eqnarray*} f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$ heißt auch Tangente an f in x_0.....

07.03.2012, 13:26

134340

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Achso, ich glaube ich verstehe langsam wo das hinführt Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$ ist ja ne Lineare. Das isr mir eben erst aufgefallen.

Jo danke smile

$\begin{eqnarray*} f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich einfach nur die Tangente Big Laugh

07.03.2012, 13:27

lgrizu

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Okay, noch Fragen?

07.03.2012, 13:30

tmo

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Zitat:

Original von lgrizu
Deine Funktion d(x) heißt Ableitung von f(x), man könnte sie auch f'(x) nennen

Das ist nur "halbwahr" und kann verwirrend sein.

Man beachte, dass - im Falle der Diffbarkeit von f auf ganz D - die Funktion d NICHT die Ableitung der Funktion f ist.
Es ist lediglich $\begin{eqnarray*} d(x_0) = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ , aber i.A. gilt das nicht in anderen Punkten.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(x) = x+x_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt die geforderten Eigenschaften.

Es ist aber natürlich $\begin{eqnarray*} d(x) = f'(x) \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ richtig.

07.03.2012, 13:34

lgrizu

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das stimmt natürlich, hab ich wohl vergessen zu erwähnen....

07.03.2012, 14:16

134340

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Und aus $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) +(x-x_0)*d(x) \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} d(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ desweiteren folgt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} d(x)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = d(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Da d an der Stelle x_0 stetig ist und es den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ gibt, ist f an der Stelle x_0 Differenzierbar.
Hab ich da jetzt richtig gedacht ?

07.03.2012, 15:48

tmo

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Ja, das ist so richtig, wobei die Gleichheit $\begin{eqnarray*} d(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x \neq x_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Du hast hier die Rückrichtung der Aussage gezeigt.

D.h. die Hinrichtung (Ist f diffbar, gibt es ein solches d) müsstest du noch zeigen, aber da setzt man einfach d wie gewünscht und zeigt, dass es dann stetig ist.

07.03.2012, 16:12

134340

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Danke für deine schnelle Reaktion tmo Big Laugh

Wenn man davon ausgeht das f an der Stelle x_0 differenzierbar ist, es gibt also den Grenzwert $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in D \left\{ x_0\right\} \end{eqnarray*}$ . Gibt es eine in ganz D definierte und in x_0 stetige Funktion d, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} d:x \to \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq x_0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} d:x \to f'(x_0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = x_0 \end{eqnarray*}$
(Eigentlich sollte da eine große geschweifte Klammer auf sein, aber ich hab das leider nicht mit Latex hinbekommen. Aber ich denke ihr wisst was ich meine.)

Daraus folgt dann der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) +(x-x_0)*d(x) \end{eqnarray*}$ .

Das müsste ja jetzt die Hinrichtung sein oder hab ich da jetzt was falsch verstanden ?

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