Verschoben! Ableitungssatz |
07.03.2012, 12:18 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ableitungssatz Hier der Satz: Es sei f mit eine reele Funktion. Jeder Punkt von D sei Häufungspunkt. f ist genau dann in differenzierbar, wenn es eine auf D definierte Funktion d mit folgenden Eigenschaften gibt: 1. für alle 2. d ist in x_0 stetig Ich habe noch so meine Probleme mit dem "Jeder Punkt von D sei Häufungspunkt." Geht das denn überhaupt? Könnt ihr mir bitte erklären, was dieser Satz aussagen soll? |
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07.03.2012, 12:27 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ableitungssatz Klar geht das, betrachte ein Intervall in IR, dann ist jeder innere Punkt des Intervalls ein Häufungspunkt. Betrachte den Zusammenhang von Häufingspunkten und Stetigkeit. |
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07.03.2012, 12:55 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe, ja natürlich ist jeder Punkt in IR Häufungspunkt. Aber leider verstehe ich immer noch nicht den Sinn dieses Satzes. Was bringt mir das denn jetzt, dass ich weiß, dass für alle ist? |
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07.03.2012, 13:10 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Funktion d(x) heißt Ableitung von f(x), man könnte sie auch f'(x) nennen. Man kann als lineare Approximation auffassen, heißt auch Tangente an f in x_0..... |
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07.03.2012, 13:26 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ich glaube ich verstehe langsam wo das hinführt ist ja ne Lineare. Das isr mir eben erst aufgefallen. Jo danke ist tatsächlich einfach nur die Tangente |
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07.03.2012, 13:27 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, noch Fragen? |
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07.03.2012, 13:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nur "halbwahr" und kann verwirrend sein. Man beachte, dass - im Falle der Diffbarkeit von f auf ganz D - die Funktion d NICHT die Ableitung der Funktion f ist. Es ist lediglich , aber i.A. gilt das nicht in anderen Punkten. Beispiel: . Die Funktion mit erfüllt die geforderten Eigenschaften. Es ist aber natürlich nur für richtig. |
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07.03.2012, 13:34 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stimmt natürlich, hab ich wohl vergessen zu erwähnen.... |
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07.03.2012, 14:16 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und aus folgt dann desweiteren folgt dann . Da d an der Stelle x_0 stetig ist und es den Grenzwert gibt, ist f an der Stelle x_0 Differenzierbar. Hab ich da jetzt richtig gedacht ? |
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07.03.2012, 15:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist so richtig, wobei die Gleichheit natürlich nur für gilt. Du hast hier die Rückrichtung der Aussage gezeigt. D.h. die Hinrichtung (Ist f diffbar, gibt es ein solches d) müsstest du noch zeigen, aber da setzt man einfach d wie gewünscht und zeigt, dass es dann stetig ist. |
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07.03.2012, 16:12 | 134340 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine schnelle Reaktion tmo Big Laugh Wenn man davon ausgeht das f an der Stelle x_0 differenzierbar ist, es gibt also den Grenzwert mit . Gibt es eine in ganz D definierte und in x_0 stetige Funktion d, für die gilt: für und für (Eigentlich sollte da eine große geschweifte Klammer auf sein, aber ich hab das leider nicht mit Latex hinbekommen. Aber ich denke ihr wisst was ich meine.) Daraus folgt dann der Ansatz . Das müsste ja jetzt die Hinrichtung sein oder hab ich da jetzt was falsch verstanden ? |
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