Filter/ Umgebungsfilter

07.03.2012, 21:27

Gast11022013

Filter/ Umgebungsfilter

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Für einen topologischen Raum X und eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) $\begin{eqnarray*} x\in\overline{A} \end{eqnarray*}$

(b) Für den Umgebungsfilter $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ von x ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x)\cap A \end{eqnarray*}$ ein Filter auf A.

(c) Es gibt einen Filter auf A, dessen Bild unter der Injektion $\begin{eqnarray*} A\to X \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert.

Meine Ideen:
Hallo, hab ein paar Probleme damit.

$\begin{eqnarray*} (a)\Rightarrow (b) \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\overline{A} \end{eqnarray*}$ , das heißt $\begin{eqnarray*} U\cap A\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich muss zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}:=\mathcal{U}(x)\cap A \end{eqnarray*}$ Filter auf A ist, also ein System von Teilmengen von A, für das gilt:

1.) $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{F}, \emptyset\notin\mathcal{F} \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} B,C\in\mathcal{F}\Rightarrow B\cap C\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} D\in\mathcal{F}, D\subseteq E\Rightarrow E\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$

zu 1.) Folgt aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\subseteq A \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ? Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \emptyset\notin\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ , daher $\begin{eqnarray*} \emptyset\notin\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

zu 2.) Seien $\begin{eqnarray*} B:=U\cap A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C:=U'\cap A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U,U'\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht man, daß $\begin{eqnarray*} B\cap C\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} B\cap C=(U\cap U)\cap A \end{eqnarray*}$ . Ist aber $\begin{eqnarray*} U\cap U'\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Weiter bin ich noch nicht.

Edit: Okay, es ist ja $\begin{eqnarray*} U\cap U'\subseteq U \end{eqnarray*}$ bzw. auch $\begin{eqnarray*} U\cap U'\subseteq U' \end{eqnarray*}$ . Damit $\begin{eqnarray*} U\cap U'\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ .

07.03.2012, 22:47

Felix

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Zitat:

Folgt aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\subseteq A \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ?

Diese Inklusion ergibt keinen Sinn! Die Aussage gilt da $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ist aber $\begin{eqnarray*} U\cap U'\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Ja da U(x) ein Filter ist.

07.03.2012, 22:52

Gast11022013

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Zitat:

Original von Felix
Die Aussage gilt da $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Meinst Du $\begin{eqnarray*} X\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Wie kann ich 3.) zeigen?

Meine Idee:

Sei $\begin{eqnarray*} B:=(U\cap A)\subseteq C:=(U'\cap A) \end{eqnarray*}$ .

Ist dann nicht $\begin{eqnarray*} B\subseteq C\Leftrightarrow U\subseteq U' \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} U'\cap A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , da aus $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(x), U\subseteq U' \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} U'\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ Filter ist?

07.03.2012, 23:31

Ungewiss

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Zitat:

Original von Felix
Diese Inklusion ergibt keinen Sinn! Die Aussage gilt da $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Du meinst $\begin{eqnarray*} X\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: garnicht gesehn dass Dennis die Frage schon selber stellte, sry!

08.03.2012, 00:22

Gast11022013

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Hier meine Idee zu $\begin{eqnarray*} (b)\Rightarrow (c) \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} f\colon A\hookrightarrow X \end{eqnarray*}$ die Injektion.

Ich würde als Filterbasis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{f(U\cap A)~|~U\in\mathcal{U}(x)\right\} \end{eqnarray*}$ wählen, dann ist der von $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ erzeugte Filter auf A, nämlich

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{D}=\left\{C\subseteq A~|~\exists f(U\cap A), U\in\mathcal{U}(x): f(U\cap A)\subseteq C\right\}=\left\{C\subseteq A~|~\exists U\cap A, U\in\mathcal{U}(x): U\cap A\subseteq C\right\} \end{eqnarray*}$ ,

konvergent gegen x, da $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x)\subseteq\mathfrak{D} \end{eqnarray*}$ . Dies ist der Bildfilter des Filters $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x)\cap A \end{eqnarray*}$ .

Okay?

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