Minimum mittels Newton-Raphson

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eey Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum mittels Newton-Raphson
Hallo zusammen,

ich habe eine Funktion

[latex]f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/latex]

welche ich mittels Newton-Raphson Verfahren minimieren will. Nun habe ich ein Verständnisproblem. Das allgemeine Vorgehen ist ja folgendes:

[latex]\vec x^{n+1} = \vec x^n - \frac{f(\vec x)}{f'(\vec x)}[/latex]

Nun meine Frage: Wie sollen diese Dimensionen zusammenpassen? Denn meine Funktion f liefert mir ja keinen Vektor sondern nur ein Skalar, damit kann ich dann aber nicht weiterrechnen.

Geht das dann überhaupt für diesen Fall oder hab ich hier irgendwo einen Denkfehler drinnen? verwirrt

Würde mich sehr über Hilfe freuen. smile

Schöne Grüße,
eey
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimum mittels Newton-Raphson
So lautet das Verfahren im Mehrdimensionalen doch gar nicht.... Der Bruch bricht dir das Genick.

http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verf...hrdimensionalen
 
 
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, das hatte ich dann verwechselt...

Also in meinem Fall jetzt müsste ich ja dann das Produkt

[latex]J_f^{-1}(\vec x) \cdot f(\vec x)[/latex]

bilden, wobei J_f die Jakobimatrix von f ist.


Die Jakobimatrix wäre hier ja ein Vektor mit drei Eintragen, also wäre die Inverse davon einfach der Vektor mal minus eins?

Ist das richtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir noch mal einen Schritt zurück. Hätte ich schon im ersten Post machen sollen:

Zitat:
Hallo zusammen,

ich habe eine Funktion

[latex]f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/latex]

welche ich mittels Newton-Raphson Verfahren minimieren will.


Newton: Nullstellen für [l]\mathbb R^n \to \mathbb R^n[/l]

Du möchtest von deiner Funktion ein Minimum bestimmen. Auf welche Funktion musst du Newton dann anwenden, nehme mal an du willst notwendige Bedingung prüfen.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Hm,

also geht Newton nur für Funktionen

[latex]f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n[/latex]

und nicht für

[latex]f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/latex]

vestehe ich das richtig?


Also meine Funktion f beschreibt den Fehler bzw. die Abweichung meiner Angesetzten Funktion von den tatsächlichen (Mess-)Werten. Daher will ich von dieser ein Minimum bestimmen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehst du richtig. Aber du willst doch ein Minimum, und keine Nullstelle... Verstehst du was ich meine?
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dass ist ja blöd dann unglücklich

Welches Verfahren könnte ich denn sonst einsetzen um meine Funktion effektiv zu minimieren? Kann man das Newtonverfahren irgendwie modifizieren damit es auch von R^n -> R geht?

Schöne Grüße und danke schonmal für die Hilfe,
eey
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast meinen Hinweis immer noch nicht verstanden. Mal ganz banal:

Wie berechnet man den ein lok. Minimum für f: IR -> IR?
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Naja halt über die erste Ableitung. Da wo die Null ist hat man einen Extremwert, dann schaut man sich noch die zweite Ableitung an und sieht dann ob es ein Minimum oder ein Maximum war.

Aber was bringt mir das jetzt genau? Ich sehe irgendwie deinen Hinweis nicht verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wollen wir also die Nullstellen von f oder von ... bestimmen?
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll ... jetzt heißen? Irgendwie kann ich dir nicht ganz folgen.

Ich will das Minimum meiner Funktion f bestimmen die den Fehler meiner Approximierten Funktion zurückgibt.

Dazu soll ein Newton Verfahren gut geeignet sein habe ich im Internet gelesen, daher würde ich das gerne verwenden. Kannst du mir also bitte so ein Verfahren empfehlen welches für meinen Fall
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ruhig bleiben. Ich zitiere:

Zitat:

Newton: Nullstellen für [latex]\mathbb R^n \to \mathbb R^n[/latex]

Du möchtest von deiner Funktion ein Minimum bestimmen. Auf welche Funktion musst du Newton dann anwenden, nehme mal an du willst notwendige Bedingung prüfen.


Im Eindimensionalen war dir doch klar, was zu tun ist.

Zitat:
Naja halt über die erste Ableitung. Da wo die Null ist hat man einen Extremwert,


Auf welche Funktion muss man Newton also anwenden? Nicht f, sondern... smile Und damit sollten sich die Dimensionsprobleme Lösen.
http://www.math.uni-hamburg.de/home/ober...ipt/optim08.pdf
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann, da stand ich aber gehörig auf dem Schlauch! Jetzt hab ich kapiert worauf du hinaus willst. Big Laugh

Habs mal durchgerechnet und mit Wikipedia verglichen und wenn man das so macht erhält man ja direkt das Quasi-Newton Verfahren welches sich dann auch für mein Problem eignet.

Könntest du mir vielleicht noch erklären wie man dann beim Quasi-Newton Verfahren die Hesse Matrix ersetzt? Ich werd da nicht so ganz schlau draus aus dem was bei Wikipedia steht...

Aber besten Dank schonmal für die Hilfe,

eey
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ober...ipt/optim09.pdf
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mich nun entschlossen das ganze erstmal mit dem Gradientenverfahren zu lösen, weil das ja doch etwas einfacher ist um erstmal reinzukommen.

Ich hab das Prinzip auch schon verstanden und ein paar Übungsaufgaben gemacht, aber wie kann ich denn meine Schrittweite iterativ bestimmen? In den Übungsaufgaben war die Matrix A immer direkt angegeben so dass man die Schrittweite direkt ausrechnen konnte. Bei meiner jetzigen Funktion geht das aber nicht da ich diese Matrix ja nicht kenne...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ober...ipt/optim06.pdf

Du musst eine Schrittweitensteuerung einbauen. Da gibt es verschiedene. Am Besten liest du den Oberle/Kanzow Zyklus mal von Beginn an grob durch zur Orientierung.
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