Stützvektor in der Ebene |
| 08.03.2012, 19:30 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Stützvektor in der Ebene Deshalb habe ich eine sehr wichtige Frage bezüglich eines Stützvektors. Kann ich irgendwie ,,errechnen" das ein Punkt aus 3 Punkten der Stützvektor dieser ist? Also irgendwie ohne nachzudenken, stumm draufzurechnen und so aus 3 Punkten immer ein Stützvektor zu finden, welcher die anderen zwei ,,aufspannt" ? |
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| 08.03.2012, 19:37 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo. Wenn die 3 Punkte die Ebene aufspannen, dann liegen sie auch alle in der Ebene. Eine Ebene hat nicht genau einen Stützvektor, sondern jeder Vektor zu einem Punkt in der Ebene kann als Stützvektor gelten. Somit kann auch jeder Ortsvektor einer der 3 Punkte als Stützvektor dienen. LG Michel |
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| 08.03.2012, 19:43 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, dann hat sich das geklärt. Nun hätte ich noch eine andere Frage, wobei ich da gerne keinen neuen Thread aufmachen möchte. Es handelt sich hierbei, um das Suchen nach Punkten im Schaubild. oder zb. wenn man einen Punkt im Abstand von 2m in eine Vektorrichtung finden muss. Wie kann man da vorgehen? Selbstverständlich sind andere Punkte bereits gegeben und ich weiss, dass man sich da irgendwie ,,durchbeißen" kann. |
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| 08.03.2012, 20:01 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß nicht, ob ich deine Frage richtig verstanden habe. Meinst du, wie man vorgeht, wenn man von Punkt zum Beispiel 2 Meter in Richtung gehen soll? |
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| 08.03.2012, 20:12 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich poste mal eine Beispielsaufgabe.^^ Ein Turm steht auf der x1x2-Ebene. Er hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche und mit einer aufgesetzten Pyramide. Auf der Turmspitze befindet sich eine Wetterfahne, die die FOrm eines gleichschenkligen Dreiecks hat und um die Achse PQ drehbar ist. Gegeben sind die Punkte A(4/2/0) B(6/6/0) C(2/8/0) D (0/4/0) P(3/5/13) Q(3/5/15) und R(4/7/14) d)Bei einem starken Wind, der in Richtung des Vektors (-1/-2/0) weht, wird die Wetterfahne so gedreht, dass sie genau in windrichtung steht. Geben Sie die Koordinaten des Punktes R´an, in dem sich nun die Spitze R der Wetterfahne befindet. Bei dieser Aufgabe geht es ja im Prinzip um das, was ich meine. |
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| 08.03.2012, 20:46 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, also im Grunde musste dazu ja nur die Länge der Fahne berechnen, also die Länge vom Mast (PQ) bis zur Spitze R und dann diese Länge von PQ aus in die Richtung des Windes "gehen" und dort ist dann R'. |
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| 08.03.2012, 20:47 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das weiss ich. Aber wie löse ich das rechnerisch, also um den Punkt finden zu können? Die Gedanken wie man das macht sind mir auch klar.^^ |
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| 08.03.2012, 20:48 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, wo genau hakt's denn? Bei der Berechnung der Länge eines Vektors? |
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| 08.03.2012, 20:50 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, ich habe ein Problem wenn ich einen bestimmten Weg in Richtung (X,y,z) gehen soll. |
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| 08.03.2012, 20:57 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also wenn du zum Beispiel von (4/5/6) in Richtung (-1/-2/0) gehen willst, musst du die Vektoren ja erstmal nur addieren. Also: (4/5/6) + (-1/-2/0) = (3/3/6) Die Länge von (-1/-2/0) ist jetzt . Das ist dann auch der Weg, den du in diese Richtung gegangen bist. Möchtest du jetzt nur 2 weit gehen, dann musst du den Richtungsvektor zunächst normieren (hat dann die Länge 1) und mit 2 Multiplizieren. Klar soweit? |
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| 08.03.2012, 21:09 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, leider noch nicht. 
Kannst du das bitte an folgendem Beispiel erklären? Ich befinde mich am Punkt (6/7/9). Der wind weht in Richtung v=(4/9/1) und dabei ändere ich meinen Abstand um 5LE. |
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| 08.03.2012, 21:15 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also du hast aber schon verstanden, wie man überhaupt in eine Richtung geht, nämlich indem man nur die Vektoren addiert, ja? Wie weit würdest du denn gehen, wenn du von (6/7/9) einfach in Richtung (4/9/1) gehen würdest, also du bei (6/7/9) + (4/9/1) = (10/16/10) ankommst? Welchen Weg hast du dabei zurückgelegt? |
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| 08.03.2012, 21:26 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Betrag des Vektors aus beiden Punkten entspricht der Länge bzw. des zurückgelegten Weg`s. Hmm .. ich glaube das ich es nun ein ganz wenig verstanden habe. Aber trotzdem weiss ich nicht wie ich meine Aufgabe lösen soll, -.- |
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| 08.03.2012, 22:03 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das war ja soweit schon mal richtig. Du hast einen Vektor und kannst daraus die Länge mithilfe des Betrages bestimmen. Jetzt musst du's umgekehrt machen. Du hast einen Vektor und willst ihn auf eine bestimmte Länge bringen. Dabei ist eben zu beachten, dass verschiedene Vektoren in die gleiche Richtung zeigen können, aber verschiedene Längen haben, z.B.: (1, 2, 3), (2, 4, 6), (0.5, 1, 1.5), (10, 20, 30), ... Diese sind alle linear abhängig, das heißt grob gesagt sie zeigen die gleiche Richtung, sind aber verschieden lang. Zum Beispiel hat der Vektor (2, 3, 6) eine Länge von . Damit er jetzt die Länge 1 hat, müssen wir durch 7 teilen und erhalten: (2/7, 3/7, 6/7) Dieser Vektor zeigt in die gleiche Richtung wie (2, 3, 6), hat aber nur noch die Länge 1 (diesen Vorgang nennt man 'normieren'). Wenn der Vektor jetzt die Länge 5 haben soll, müssen wir ihn schließlich noch mit 5 multiplizieren: 5*(2/7, 3/7, 6/7) = (10/7, 15/7, 30/7) Die Länge ist nun: . Genau das wollten wir erreichen. Hilft dir das jetzt weiter? |
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| 08.03.2012, 22:31 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das hilft mir etwas weiter.^^ Danke. Und wie bestimme ich nun Punkte in einem Schrägbild, wenn ich zb. nur 3 oder 4 gegeben habe? Ich habe hier folgende Erklärung gefunden: Gesuchter Punkt = Gegebener Punkt + Vektor(der vom gegebenen Punkt zum gesuchten PUnkt reicht). Das läuft glaube ich ins gleiche hinaus oder? Nehm es mir bitte nicht übel, rechnen kann ich ganz gut mit solchen Sachen, aber das räumliche denken!
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| 08.03.2012, 23:13 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, weil Paranoide OFF, versuche ich, hier weiter zu helfen. Das Bestimmen von Punkten mithilfe einer räumlichen Richtung (Vektor) und einer Entfernung von einem gegebenen Punkt ist ja bestens erklärt. Ja, und die Erklärung, die Du gefunden hast, ist eine knappe Zusammenfassung davon; sie besagt dasselbe. Ich weiß aber nicht, was Du mit "Schrägbild" meinst. |
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| 08.03.2012, 23:20 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich meine damit, das oft folgende Situation gegeben ist: Ein Körper ist gegeben und den Eckpunkten wurden Koordinaten zugewiesen, jedoch nicht allen, sodass nun vielen Eckpunkten des Körpers/Objekts im Koordinatensystem (Nicht zwingend!) die Koordinaten fehlen. Wie bekomme ich denn die nun raus? Kleines Beispiel: Ein Würfel besitzt als Grundfläche das Quadrat ABCD und als Deckfläche das Quadrat EFGH. Dabei gelte: A(3|2|1) B(3|6|1) G(-1|6|5) Bestimmen sie die Koordinaten von C, D, E, F und H. Mir bereitet das räumliche Denken wirklich starke Probleme.
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| 08.03.2012, 23:34 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie schon im anderen Thread gesagt, ist bei solchen Aufgaben eine Skizze unverzichtbar. Nur mit sehr viel Übung kann man das im Kopf. In diesem Fall musst Du von der üblichen Punktbezeichnung im Würfel ausgehen; das sollst Du schon mal auf einer Skizze festhalten. Dann erkennst Du, dass der Vektor BA gleich dem Vektor GH ist. Also kannst Du BA an Punkt G, besser gesagt an seinen Stützvektor, anhängen und erhältst Punkt H. Dann wird es aber etwas kniffliger. Du könntest aus den Vektoren BA und BG mittels Kreuzprodukt einen Vektor erzeugen, der genau in der Richtung CF verläuft. Dann skalieren und in C einsetzen, das ergibt F bzw. E. Die Punkte C und D sind dann schon leichter zu bekommen. |
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| 08.03.2012, 23:45 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, das Koordinatensystem wird mir da eine große hilfe sein. Ich habe hier eine einfach Aufgabe neben mir liegen und möchte nur schauen ob ich es in etwa verstanden habe. D (6/-3/12) .... An einem im Punkt D befestigten 5m langen Seil soll an dessen Ende im Punkt L eine Lampe aufgehängt werden. Ermitteln sie die Koordinaten des Punktes L. Das wären doch eigentlich einfach nur L (6/-3/7) oder? |
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| 08.03.2012, 23:51 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. Hier wird natürlich vorausgesetzt, dass das Lot genau in z-Richtung fällt, was aber meistens (oder immer?) der Fall ist. |
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| 08.03.2012, 23:56 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, super. Ja, so ist es^^. Da wir gerade bei Lot sind, habe ich noch eine wichtige Frage die ich morgen vielleicht gebrauchen werde. Es handelt sich hier um folgendes: Es ist die Parametergleichung einer Ebene zu bestimmen, die von der geraden g:x=vektora+r*vektorb..... im Punkt (x/y/z) orthogonal durchstoßen wird. Wie bilde ich so eine Ebene im allgemeinen ausgedrückt? |
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| 09.03.2012, 00:03 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die kürzeste Methode ist, anhand des Richtungsvektors der Geraden (er ist gleichzeitig der Normalvektor der Ebene) einmal die allgemeine Koordinatenform aufzustellen. Mit dem Durchstoßpunkt kannst Du das d in der Gleichung bestimmen, indem Du ihn in die Gleichung einsetzt. Für die Parameterform musst Du mittels Skalarprodukt zwei Normalvektoren zum Richtungsvektor finden; auf den Durchstoßpunkt zeigt der Stützvektor der Ebene. |
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| 09.03.2012, 00:12 | SpanischLiebling | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen dank! Das hat mir nun wirklich sehr geholfen. Lob an das Forum und vor allem an Helfern wie Ihnen. 
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| 09.03.2012, 00:17 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Keine Ursache. Hier gibt es viele gute Helfer, die gerne ihr Wissen weitergeben. Übrigens sind wir hier alle per Du, das gilt für Helfende wie Fragende; Du kannst es also gerne gebrauchen. 
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