Aufgabe+fragen rund um eine Matrix

19.01.2007, 16:58

Homer42

Aufgabe+fragen rund um eine Matrix

Hallihallo nochmals,

habe neulich schonmal eine ähnliche Frage gestellt und dachte, ich hätte es verstanden. Dem war dann aber doch nicht ganz so. Habe hier eine Aufgabe, die eigentlich so ziemlich alles beinhaltet, wo es bei mir mit den Matrizen hapert (und was ich morgen können muss aaaaaaaahhh)
Für Hilfe jeder Art bin ich seeeeeeeeeeeer dankbar smile

also:

gegeben sei die matrix

$\begin{eqnarray*} A= \left [\begin {array}{cccc} 1&0&1&1\\{\medskip}0&1&-1&1\\{\medskip}-1&-2&1&-3\end {array}\right] \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie Kern ( $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ ) und Bild ( $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ ).

b) Bestimmen Sie die Urbilder $\begin{eqnarray*} f_A^{-1}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\1\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) Ergänzen sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} Kern(f_A) \end{eqnarray*}$ zu einer Basis B von $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ und eine Basis von $\begin{eqnarray*} Bild (f_A) \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$

d) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} M_B,_C(f_A) \end{eqnarray*}$

Hier das was ich weiß oder zu wissen glaube:

a) $\begin{eqnarray*} Kern(f_A)={\lambda * \begin{pmatrix}-2\\0\\1\\1\end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$ ???

Berechnug des Bildes habe ich mir von munich in DIESEM Thread abgeguckt.
Demnach ist $\begin{eqnarray*} Bild(f_A)=<\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

b) - d) relativ viel "bahnhof" in meinem kopf, weiß nicht wie man das anstellt verwirrt

danke schonmal smile

tigerbine: Latex edit

19.01.2007, 18:33

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt eine lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f_A. \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

vor. Den Kern bestimmt man durch Lösen den homogenen LGS

a)
$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc} 1&0&1&1\\{\medskip}0&1&-1&1\\{\medskip}-1&-2&1&-3\end {array}\right) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wegen der endlichen Dimension der Vektorräume kennen wir schon die Dimension des Bildraums. Um sein Erzeugendensystem zu bestimmen, betrachten wir die Bilder das Standardeinheitsbasis.

b) Löse die inhomogenen Gleichungssysteme

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc} 1&0&1&1\\{\medskip}0&1&-1&1\\{\medskip}-1&-2&1&-3\end {array}\right) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc} 1&0&1&1\\{\medskip}0&1&-1&1\\{\medskip}-1&-2&1&-3\end {array}\right) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) Basisergänzungssatz

d) Was ist B, C? die in c) berechnet Basen?

19.01.2007, 18:39

Homer42

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank soweit!

zu d)

ja, davon gehe ich aus

15.03.2007, 23:21

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht passt's hier rein: sei $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ A,= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

frage 1) deuten sie de zu A, gehörende lineare abbildung geometrisch

2) gerechenn si edie bilder (1,0), (0,1), (0,0) und (3,2) unter der zu a, gehörenden linearen abbildung

bitte brauch die unbedingt eure hilfe,

thx vinni

16.03.2007, 00:11

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Auf was wird denn ein Vektor (x,y) abgebildet?

16.03.2007, 00:25

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

steht nicht in der aufgabe