Lineare Abbildung

09.03.2012, 20:20

konfus

Lineare Abbildung

Meine Frage:
hallo... in meinen aufzeichnungen steht: eine abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt "linear", wenn für reelle zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n)=a_1x_1+...+a_nx_n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich verstehe das echt nicht: wenn der n-tupel auf eine reelle zahl "r" abgebildet wird, soll ich mir dann n reelle zahlen ausdenken, so dass das bild eben r ergibt? verwirrt

09.03.2012, 20:49

--> john <--

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Hallo,

nein, du denkst die Sache von hinten her. Umgekehrt wird ein Schuh draus :-)

Ich schreibe die Definition ein wenig ausführlicher, vielleicht wird sie dann verständlicher für dich:

Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt linear, wenn für alle Elemente $\begin{eqnarray*} (x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bestimmte, relle Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1, ..., a_n \end{eqnarray*}$ existieren, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n) = a_1 \cdot x_1+...+a_n \cdot x_n \end{eqnarray*}$

gilt.

Wichtig ist: Die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ sind fest. Sie charakterisieren die lineare Abbildung in eindeutiger Weise.

Vergleiche die dir vorliegende Definition mit der allgemeinen Definition linearer Abbildungen zwischen (endlich-dimensionalen) Vektorräumen, z. B. $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ . Da muss $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ gelten für alle Elemente $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich. Im Übrigen gilt noch die Homogenität.

09.03.2012, 21:34

konfus

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dankeschön schon einmal für deine antwort smile

ich habe es leider immer noch nicht vollständig verstanden. Wenn ich jetzt einfach n reelle zahlen vorgebe, z.b. sind alle gleich 1, dann klappt das doch immer oder:

$\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n) = x_1+...+x_n \end{eqnarray*}$ ?

also ist so eine abbildung doch immer linear, oder?

09.03.2012, 21:54

--> john <--

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Natürlich kannst du auch $\begin{eqnarray*} a_1=1,...,a_n=1 \end{eqnarray*}$ definieren, dann ist die von dir genannte Abbildung linear.

Im ersten Beitrag hast du die Frage gestellt, ob man sich zu bestimmten Bildpunkten diese rellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ einfach "ausdenken" dürfe. Das ist natürlich falsch und ganz klar "von hinten gedacht". Die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,...a_n \end{eqnarray*}$ sind nämlich für jede lineare Abbildung fest und daher kommen bestimmte Bildpunkte in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gar nicht erst vor, weil die Abbildung das gar nicht zulässt. Mit anderen Worten: Sie ist nicht zwangsläufig surjektiv.

Ich hoffe, es ist nun klarer geworden.

09.03.2012, 22:17

konfus

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etwas ja, danke.

heißt das, sobald man so eine abbildung hat : $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und n reelle zahlen, die sich so zusammenfügen : $\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n) = a_1 \cdot x_1+...+a_n \cdot x_n \end{eqnarray*}$ , dann ist die abbildung linear?

und wnen man keine n reellen zahlen hat, dann ist sie nicht linear?

09.03.2012, 23:17

--> john <--

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Zitat:

Original von konfus
heißt das, sobald man so eine abbildung hat : $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und n reelle zahlen, die sich so zusammenfügen : $\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n) = a_1 \cdot x_1+...+a_n \cdot x_n \end{eqnarray*}$ , dann ist die abbildung linear?

Ja.

Zitat:

Original von konfus
und wnen man keine n reellen zahlen hat, dann ist sie nicht linear?

Wenn sie nicht die obige Form hat, dann ist sie nichtlinear.

Z. B. ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x_1, ... , x_n) = a_1 x_1 \cdot a_2 x_2 + a_3x_3 + ... + a_{n-1}x_{n-1} + a_n x_n \end{eqnarray*}$ nicht mehr linear.

09.03.2012, 23:49

konfus

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ok danke, dann habe ich es ja endlich vertstanden :-)

magst du mir noch ein beispiel geben für so eine lineare abbildung

10.03.2012, 00:41

--> john <--

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Das Beispiel, das ich im letzten Posting gegeben habe, war ein Beispiel für eine nichtlineare Abbildung!
Das kannst du zur Übung ja mal nachrechnen, dazu benötigst du nur die Definition einer linearen Abbildung.

Sinus, Cosinus, exp-Funktion, log-Funktion sind alle nichtlinear.

Lineare Abbildungen werden wie gesagt, allgemeiner als in deiner Aufgabe, als additive und homogene Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \phi : V \to W \end{eqnarray*}$ definiert, wobei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein n-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein m-dimensionaler K-Vektorraum ist mit $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Die linearen Abbildungen sind im Grunde genommen die langweiligsten Abbildungen, da man sie sich als Geraden bzw. ebene Flächen vorstellen kann (im höherdimensionalen wird das mit der Vorstellung natürlich schwierig). Also du kannst dir das so merken: Sobald etwas in irgendeiner Art gekrümmt ist (z. B. der Sinus), dann kann es nicht mehr linear sein. Die einzigen linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, d.h. Funktionen von der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha \cdot x \end{eqnarray*}$ mit einem Faktor $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

10.03.2012, 12:19

konfus

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gut, ich glaube ich habe da einfach zu viel drüber nachgedacht, in mathe scheint es halt einfach manchmal so zu sein, dass man so etwas wie diese definition einfach hinnehmen muss.

Danke dir!

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