Viviani Kurve

11.03.2012, 11:12

Saigon

Viviani Kurve

Meine Frage:
Angabe:

Kurve c im R³:

x(t):= [r*sin(t); r*(1+cos(t); 2r*sin(t/2)]

(r>0, t E [0,4pi])

----------------------------------------

wie zeige ich, dass c auf:

a) der Kugel (Radius = 2r) und Mittelpunkt im Ursprung ist?

b) dem Drehzylinder (Radius = r mit z-parallelen Erzeugenden, Drehachsenpunkt (0,r,0)) ist?

c) dem parapolischen Zylinder mit Gl. z^2 = 2r(2r-y) ist?

----------------------------------------

Meine Ideen:
zu a)

x^2+y^2+z^2=4r^2

Parameterdarstellung:

r^2*sin(t)^2+r^2(1*cos(t)^2)+4r^2*sin(t/2)^2 = 4r^2

--> ich komm dann irgendwann auf

cos(t) = 0

habe ich damit Bsp a) gezeigt?

----------------------------------------

zu b)

Koordinatengl. Zylinder:

(x-r)^2+y^2=r^2

was soll man hier genau machen für (0;r;0)?

----------------------------------------

zu c)

z^2=2r*(2r-y)

Parameterdarstellung:

(2r*sin(t/2))^2=2r*(2r-r(1+cos(t))

-> auflösen ->

0=0 sollte passen, oder?

12.03.2012, 01:57

frank09

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RE: Viviani Kurve
zu a)

Zitat:

r^2*sin(t)^2+r^2(1*cos(t)^2)+4r^2*sin(t/2)^2 = 4r^2

Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} r^2\cdot sin^2t+r^2(1+cost)^2+4r^2\cdot sin^2(0.5t)=4r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^2( sin^2t+1+2cost+cos^2t+4\cdot sin^2(0.5t))=4r^2 \end{eqnarray*}$

zu b)

Zitat:

(x-r)^2+y^2=r^2

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} x^2+(y-r)^2=r^2 \end{eqnarray*}$
Die Drehachse verläuft parallel zur Z-Achse und geht durch (0|r|0)

Du setzt einfach die X- und Y-Koord. der Kurve ein:
$\begin{eqnarray*} (r\cdot sint)^2+(r+r\cdot cos t-r)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

zu c)

Zitat:

0=0 sollte passen, oder?

Kommt drauf an, wie du dahin gekommen bist.

Auf alle Fälle brauchst du den Trigonometrischen Pythagoras sowie

$\begin{eqnarray*} sin(0.5t)=\pm\sqrt{\frac{1-cost}{2}} \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 12:27

Saigon

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zu a)

korrekt, hab da falsch eingesetzt.

komm dann irgendwann auf:

$\begin{eqnarray*} 2sin(t/2)^2+cos(t)=1 \end{eqnarray*}$

dann weiter mit Formel: $\begin{eqnarray*} sin(t/2)^2=1/2*(1-cos(t)) \end{eqnarray*}$

Ergebn. 0=0 (bewiesen)

zu b)

das mit der Drehachse verstehe ich nicht?!?

wieso: $\begin{eqnarray*} x^2+(y-r)^2=r^2 \end{eqnarray*}$
und nicht: $\begin{eqnarray*} (x-r)^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$

allerdings, wenn ich mit deiner formel weiter rechne komme ich jetz auch auf 0=0 (also bewiesen)

zu c)

hab mit $\begin{eqnarray*} sin(t/2)^2=1/2*(1-cos(t)) \end{eqnarray*}$ gerechnet!

und bin dann auf 0=0 gekommen.

========================

hätte noch 2 fragen dazu:

d) Punkt $\begin{eqnarray*} x(0)=x(2pi) \end{eqnarray*}$ ist ein Doppelpunkt von c. Wie zeige ich, dass die orthogonal sind?

e) Wie berechne ich die Koordinaten jener Punkte von c, deren Tangenten parallel zur yz-Ebene sind?

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zu d)

$\begin{eqnarray*} x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x(2\pi)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(0)'=\begin{pmatrix} r \\ r \\ 2r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x(2\pi)=\begin{pmatrix} r \\ r \\ 2r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

t1 = $\begin{eqnarray*} x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda*x(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

t2 = $\begin{eqnarray*} x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda*x(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die sind doch nicht orthogonal?!?

zu e)
kein Plan?!?

12.03.2012, 12:47

Saigon

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nochmal zu d)

$\begin{eqnarray*} x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x(2\pi)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(0)'=\begin{pmatrix} r \\ r \\ 2r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x(2\pi)'=\begin{pmatrix} r \\ r \\ 2r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tangentenvektoren:
$\begin{eqnarray*} t1(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t2(2\pi) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die sind doch nicht orthogonal?!?

12.03.2012, 16:07

frank09

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zu b) anhand der Zeichnung sieht man die Zusammanhänge

zu d) ich weiß ja nicht, wie du ableitest:
wenn $\begin{eqnarray*} x(t)=r\begin{pmatrix} sint \\ 1+cost \\ 2sin(0.5t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x'(t)=r\begin{pmatrix} cost \\ -sint \\ cos(0.5t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'(0)=r\begin{pmatrix} cos(0) \\ -sin(0) \\ cos(0) \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'(2\pi)=r\begin{pmatrix} cos(2\pi) \\ -sin(2\pi) \\ cos(\pi) \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu e) Parallel zur YZ-Ebene sind alle Vektoren, deren X-Koord. null ist.
Also X-Ableitungskoord. gleich null setzen.

12.03.2012, 18:11

Saigon

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b) ist jetz klar, danke.

d) hatte tatsächlich falsch abgeleitet

wenn ich nun die Tangentenvektoren habe:

$\begin{eqnarray*} t1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2r \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} r \\ 0 \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2r \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} r \\ 0 \\ -r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was mach ich mit denen?

e) also
$\begin{eqnarray*} r*cos(t)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=arccos(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=(pi/2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(pi/2) = \begin{pmatrix} r \\ r \\ \sqrt{2}*r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 22:17

frank09

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RE: Viviani Kurve
zu d)

Zitat:

Wie zeige ich, dass die orthogonal sind?

Wenn du mir schon gesagt hast, was zu zeigen ist, wieso fragst du mich dann :

Zitat:

was mach ich mit denen?

Ich gehe mal ganz stark davon aus, dass du mit dem Skalarprodukt etwas anzufangen weißt.

zu e) $\begin{eqnarray*} cos(t) \end{eqnarray*}$ hat insgesamt vier Nullstellen auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0;4\pi] \end{eqnarray*}$ und es sollten alle Punkte berechnet werden.

12.03.2012, 22:40

Saigon

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ok, alles klar!

DANKE

lg saigon

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