Anzahl der Nullstellen einer beliebigen Funktion

11.03.2012, 18:47

eey

Anzahl der Nullstellen einer beliebigen Funktion

Hallo zusammen,

ich habe in zusammenhang mit einem Programm das ich gerade schreibe eine allgemeine Frage:

Gibt es eine Möglichkeit die Anzahl der Nullstellen einer beliebigen Funktion zu bestimmen? Ich hab bei Google und per Suchfunktion da leider nur eine Antwort für Polynome finden können aber das hilft mir nicht weiter... unglücklich

Ich weiß über meine Funktion sicher dass bei allen Nullstellen ein Vorzeichenwechsel erfolgt, deswegen dachte ich würde sich sowas wie Bisektion anbieten. Aber woher weiß ich wie groß das Intervall sein soll damit ich sichher alle Nullstellen erwische? Denn wenn in einem Intervall zwei Nullstellen liegen finden ja auch zwei Vorzeichenwechsel statt und somit würde mein Programm dann denken dass in diesem Intervall gar keine Nullstelle liegt...

Gibt es dafür irgendeine Lösung oder muss man hoffen dass die Intervalle klein genug gewählt wurden?

Schöne Grüße,
eey

11.03.2012, 18:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eey
Gibt es eine Möglichkeit die Anzahl der Nullstellen einer beliebigen Funktion zu bestimmen?

Vergiss diesen verständlichen, aber unerfüllbaren allgemeinen "Rezeptwunsch". Nenne stattdessen konkret die Funktion, die dir auf den Nägeln brennt - dann können wir dir auch helfen.

11.03.2012, 20:11

eey

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Funktion ist im allgemeinen nicht bekannt, dass ist das Problem.

Ich will letztendlich den Benutzer eine (fast) beliebige Funktion eingeben lassen und will dann bestimmen wieviele Nullstellen diese hat...

Ein Funktionsplotter muss das ja auch irgendwie können, oder?

11.03.2012, 22:16

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Was muss ein Plotter können. Der macht einfach nur eine Wertetabelle mit "kleinen" Schritten und malt dir die eben hin. Nicht mehr und nicht weniger.

Wie HAL sagte: Wunsch verständlich, Umsetzung nicht machbar.

12.03.2012, 12:39

eey

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm das ist blöd... Die Funktion ist nämlich ziemlich kompliziert. Prinzipiell sind auch nicht alle Funktionen zugelassen, man könnte sie schon angeben.

Zitat:

Original von HAL 9000
Vergiss diesen verständlichen, aber unerfüllbaren allgemeinen "Rezeptwunsch". Nenne stattdessen konkret die Funktion, die dir auf den Nägeln brennt - dann können wir dir auch helfen.

Ok, hier ist sie:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = \Bigg(A - \Big(x \cdot T + \frac{x}{y-z} (y^2 \cdot e^{-\frac{T}{y}} + z^2 \cdot e^{-\frac{T}{z}}) - \frac{x}{y-z} \cdot (y^2 + z^2) \Big) \Bigg)^2 \end{eqnarray*}$

Wobei A = 1800 und T = 1000 ist.

Davon brauche ich jetzt das Minimum, also die Nullstellen der ersten Ableitung. Und damit fängt mein Problem schon an.

12.03.2012, 13:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es fällt sofort auf, dass die Struktur

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = (A-x\cdot g(y,z))^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y,z) = T + \frac{1}{y-z} (y^2 \cdot e^{-\frac{T}{y}} + z^2 \cdot e^{-\frac{T}{z}}) - \frac{1}{y-z} \cdot (y^2 + z^2) \end{eqnarray*}$

vorliegt. Für festes $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y,z)\neq 0 \end{eqnarray*}$ wird damit das offenbar globale Minimum $\begin{eqnarray*} f_{\min}=0 \end{eqnarray*}$ für den x-Wert $\begin{eqnarray*} x^* = \frac{A}{g(y,z)} \end{eqnarray*}$ angenommen...

12.03.2012, 13:46

eey

Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, da kann ich dir jetzt nicht ganz folgen...

Also y und z sind ja nicht fest, wie komm ich denn von deiner Form dann auf mein Minimum (also auch den Zahlenwert)?

Und was genau meinst du mit "das globale Minimum f_min=0 für den x-Wert x*=A/g(y,z) angenommen"? Ich verstehe das so dass ich für x und y einen beliebigen Wert ungleich 0 einsetzen kann und so das Minimum rauskriegen müsste... aber das geht doch nicht?

12.03.2012, 13:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Völlig vergurkte Interpretation von dem, was ich aufgeschrieben habe. Vielleicht denkst du dir das nochmal in Ruhe durch. unglücklich

P.S.: Wenn man schreibt "für feste y,z", dann meint man damit, dass man diese Betrachtung für jede beliebige Wahl von y,z anstellen kann - allerdings habe ich das auf die y,z eingeschränkt, für die $\begin{eqnarray*} g(y,z)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist aber eine geringe Einschränkung, da dass ja immer noch für fast alle y,z zutrifft.

Zitat:

Original von eey
Und was genau meinst du mit "das globale Minimum f_min=0 für den x-Wert x*=A/g(y,z) angenommen"?

Es heißt nichts weiter, als dass man für alle $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y,z)\neq 0 \end{eqnarray*}$ den Funktionswert

$\begin{eqnarray*} f\left( \frac{A}{g(y,z)},y,z \right) = 0 \end{eqnarray*}$

erhält, der ja aufgrund der Quadratform der Funktion auch das globale Minimum darstellt - zumindest gehe ich davon aus, dass du nur reelle $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ meinst!

12.03.2012, 19:36

eey

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ichs kapiert, wenn man das so umschreibt sieht mans ja gleich ziemlich deutlich.

Danke schonmal für die Hilfe Freude

Neue Frage »

Antworten »

Anzahl der Nullstellen einer beliebigen Funktion

Verwandte Themen