Doppelintegral mit arctan?

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Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral mit arctan?
Hallo,
folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten, weil ich
1.gar nicht weiss welche Grenzen ich einsetzen soll
2.ich nicht weiss wie ich vorgehen soll ( Umformen, Ausklammern? )

Ich weiss, dass es sich um den Einheitskreis handelt ( den positiven Bereich im 2.Quadranten )

Aufgabe:


mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Keinplan
Transformier das Ganze inPolarkoordinaten . Dann könnte es einfacher werden
gruß
mathemaduenn
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Hilft mir nicht so richtig weiter, weil ich es noch nie gemacht hab.
Kannst mir mal zeigen wie das geht.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Keinplan
Kannst ja mal hier lesen.
gruß
mathemaduenn
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst auch keine Polarkoordinaten. Du kannst das einfach nach Fubini berechnen. Zum Beispiel so: innen nach x, außen nach y integrieren.

Welche y sind möglich?
Offenbar alle y aus [0,1]. Denn es gibt keine Punkte in B mit einer y-Koordinate <0 oder >1.
Also ist y=0 bis y=1 das Integrationsintervall bezüglich y.

Und wenn ein y aus [0,1] vorgegeben ist, welche x sind dann dazu möglich? Offenbar alle x aus (rechter oberer Viertelkreis).

Also kannst du so rechnen:



Und beim inneren Integral kann man sofort eine Stammfunktion angeben (beachte, daß y relativ zu x konstant ist).

Ich habe (modulo Rechenfehler)



als Ergebnis.
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mich schon weiter gebracht!
Aber ich schreibe immer das x Intervall als erstes und das y als zweites.
Ist das egal wie rum?

Noch was, Du löst nach x auf, doch man könnte doch auch nach y auflösen und bekäme y=

?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihenfolge der Integrationen spielt im allgemeinen keine Rolle (genaue Bedingungen siehe Vorlesung). Du kannst also auch innen über y und außen über x integrieren. Dann hängt die innere Integrationsgrenze von x ab und entspricht dem von dir genannten Ausdruck.
In diesem Spezialfall ist sowieso f(x,y) symmetrisch in x,y.
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

super! danke
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenweg
Ich hänge jetzt beim Rechenweg fest.
Ich komme damit noch nicht zurecht, es fehlt mir die Übung.

Ich finde die Aufgaben sehr schwer und in der Klausur gibt es dafür nur 4 Punkte.

Mein Problem:
Ich will die partielle Integration benutzen und möglichst nichts substituieren.
Es scheint mir bei der aufgabe aber unumgänglich zu sein den Nenner (1+x^2+y^2)^2 durch z zu substituieren.Da hab ich 1/z, dessen Stammfunktion ln(z) ist.

Beim Inneren Integral kommt 1/2 raus.Da musste man ja nur y aufleiten.

Beim Äusseren Integral also bei dem



hab ich Schwierigkeiten, was leite ich auf und was bleibt konstant?
und muss ich die partielle Integration benutzen?

Ich wäre für den Rechenweg sehr dankbar.!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch einmal zur Übung, eine Stammfunktion von



durch Direkterkennung (nicht rechnen!) anzugeben.
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Misst hab mich verklickt!

Wie kann ich den anderen Beitrag löschen?

Ok,
würde ersteinmal die Funktion umformen:

2x* 1 /7,836-x^2

Aufgeleitet nach x:
x^2 * ln(7,836-x^2)

stimmt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, daß das ganz falsch ist.
Leider kann ich das nicht mit Gewißheit sagen, da ich deine Formel nicht eindeutig lesen kann. Verwende den Formel-Editor oder setze Klammern zur eindeutigen Lesbarkeit.
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »





laut partieller Integration

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In meiner Angabe hieß es 7,836+x² im Nenner, so daß ich über dein Minuszeichen etwas verwirrt war.
Was du da rechnest, ist nicht richtig, und zwar bei der Stammfunktion-Suche von 1/(7,836+x²).

Leite doch einmal ln(7,836+x²) zur Probe ab. Was kommt da heraus?
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

wäre der arctan(x)
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die 7,836 ausklammer nützt es mir auch nix
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integralzeichen gehört ja da nicht hin.

Noch einmal: F(x) = ln(7,836+x²) soll abgeleitet werden.
Gesucht ist also F'(x).
Wie mußt du im einzelnen vorgehen? (Vergiß für den Moment deine eigentliche Aufgabe mit dem Doppelintegral.)
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

F´(x)=
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht. Stichwort: Kettenregel!
Wie lautet nun F'(x) korrekt?
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Äussere Ableitung * Innere :

1/x*(7,836+x^2)*2x
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die innere Funktion ist 7,836+x². Ableitung: 2x
Die äußere Funktion ist ln(...). Ableitung: 1/(...)

"äußere Funktion abgeleitet (innere mitgenommen) mal innere Funktion abgeleitet" ergibt:



Ist dir das nun klar oder hast du weitere Fragen dazu?
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir klar geworden!
Ich vergesse im Eifer des Geschehens die Ableitungsregeln.manno

Zurück zum Doppelintegral.

da hab ich mich festgebissen.
Partielle Integration muss dort angewandt werden?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Nix partiell. Direkterkennung!

Noch ein Versuch, bis du selber darauf kommst.

Versuch einmal, durch planvolles Probieren eine Stammfunktion von



zu finden. Und: immer die Probe durch Ableiten durchführen - Kettenregel beachten!
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