Fourierreihen, Faktoren

14.03.2012, 03:27

Pascal90

Fourierreihen, Faktoren

Ich hab mir gerad dieses Youtube video
(http://www.youtube.com/watch?v=3Ai3dKVPLcQ)
und noch ein weiterführendes von der Serie angeguckt und dacht ich haette eigentlich endlich soweit alles verstanden.

Aber wo kommen bei a0 die 2/1 her

Nach den Formeln aus dem Video siehe auch Anhang, habe ich ja a0 = 1/(2L)

L ist ja eine halbe Periode also in dem Fall 0,5 da wir eine Periodenlaenge von 1 haben
somit ist 2L wieder 1 und nicht 2/1

Bei an und bn komme ich ja auf die gleichen Ergebnisse 1/0.5 = 2

14.03.2012, 08:57

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihen, Faktoren

Zitat:

Original von Pascal90
Aber wo kommen bei a0 die 2/1 her

Eine häufige Frage bei der Fourierreihe. Die Formel ist nämlich nur eine Vereinfachung, strenggenommen müßte n nicht von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen, sondern von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Da aber hier alles symmetrisch ist, schenkt man sich das. Dadurch entsteht aber eben diese Unschönheit, denn die Null kommt ja nur einmal vor, wenn man die Reihe durchläuft, alle anderen Zahlen doppelt. Daher die Sonderbehandlung.

Viele Grüße
Steffen

14.03.2012, 10:52

Pascal90

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Wieso ist dies dann nur bei a0 der Fall?
Bei an und bn gehe ich doch auch nur von 0 bis 1.

Bei a0 2*(2/1) = 2 und das waere dann ja auch das Ergebniss aus der Loesung
Aber dann passt doch an und bn nicht mehr.
Da habe ich dann ja jeweils 2*(1/0.5) = 4

14.03.2012, 11:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pascal90
Bei an und bn gehe ich doch auch nur von 0 bis 1.

Nicht diese 0 und 1. Ich meine den Laufindex n der Summe in der ersten Zeile Deines Handzettels. Der geht doch von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Und die "eigentliche" Fourierreihe geht eben von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Somit gehen alle Zahlen mit ihrem negativen Partner in die Rechnung ein. Nur die arme Null nicht, die hat keinen Partner. Es paßt dann trotzdem, auch und gerade für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn man nur von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rechnet, muß man wieder berücksichtigen, daß bei Null "nur die Hälfte da ist".

Siehst Du, was ich meine?

Viele Grüße
Steffen

14.03.2012, 12:01

Pascal90

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Ich weiss jetzt schon wo du drauf hinaus willst aber so 100% klar ist es mir immer noch nicht

Zitat:

Aber wenn man nur von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rechnet, muß man wieder berücksichtigen, daß bei Null "nur die Hälfte da ist".

Denn in der Forlmel fuer a0 haben ich doch schon ein 1/( $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ L) drin.
Ich dachte diese 2 sorgt schon dafuer das ich nur die haelfte betrachte

14.03.2012, 13:00

Steffen Bühler

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Was natürlich vielleicht noch dazukommt:

In der Literatur beginnt die Fourierreihe oft mit $\begin{eqnarray*} \frac {a_0} 2 + ... \end{eqnarray*}$

Eventuell ist in dem angehängten png-File diese Formel gemeint, und nicht die in Deinem Handzettel, die ja mit $\begin{eqnarray*} a_0 + ... \end{eqnarray*}$ beginnt.

Du siehst, es gibt hier oft Verwirrung.

Viele Grüße
Steffen

14.03.2012, 15:06

Pascal90

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Thx fuer die HIilfe habs gerade noch mal Nachgerechnet mit den Formeln von oben und jetzt Passt alles. Die Loesung hat auch unter anderem halt wie du vermutet hast eine andere Formel.

Eine andere Frage hab ich aber noch kann ich die Funktion wie im Bild zu sehen ist umschreiben?
Den dadurch haette ich dann ja eine ODD Funktion und man muss weniger berechnen.

edit: In der Zeichung ist a nicht = 1/4 wie in der Aufgabenstellung

14.03.2012, 15:20

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pascal90
Eine andere Frage hab ich aber noch kann ich die Funktion wie im Bild zu sehen ist umschreiben?
Den dadurch haette ich dann ja eine ODD Funktion und man muss weniger berechnen.

Ja, genauso macht man das auch üblicherweise. Nur nicht vergessen, nach der Transformation den Gleichanteil wieder dazuzuschreiben.

Viele Grüße
Steffen

14.03.2012, 15:57

Pascal90

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Fuer eine ODD Funktion habe ich Folgende Formel
an=0 a0=0

$\begin{eqnarray*} Sf(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_{n}\sin((n\pi x)/L) \end{eqnarray*}$

Und nach dem Umschreiben entsprechend der Zeichnung habe ich ja folgendes
$\begin{eqnarray*} f(a)=f(o)+1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}= 2/0.5 \int_0^a \! f(o)\sin((n\pi x)/L) \, dx = 2 \int_0^a \! \sin((2n\pi x) \, dx = (1 -\cos(2n\pi a))/ \pi n) \end{eqnarray*}$

Hier vor der Summe die 1/2 wegen $\begin{eqnarray*} f(a)=f(o)+1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (1 -\cos(2n\pi a))/ \pi n) * \sin(2n \pi x) \end{eqnarray*}$

Aber das Endergebnis sieht nun ja auch anders aus als das Aus der Loesung ist. Das normal wenn man die Funktion umschreibt oder hab ich irgendwo einen Fehler.

Auf diese Lösung bin ich eben auch ohne Umformen gekommen

14.03.2012, 16:52

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pascal90
Aber das Endergebnis sieht nun ja auch anders aus als das Aus der Loesung ist.

Deine Funktion ist nur ungerade, wenn a=0,5 ist! In der Skizze war das gerade der Fall, deshalb hab ich das leider übersehen. Bei beispielsweise a=0,1 gilt aber eben nicht mehr f(-x)=-f(x). Prüf's nach.

Somit hilft es leider nichts, Du kannst Dir das Leben hier nicht vereinfachen.

Viele Grüße
Steffen

14.03.2012, 20:58

Pascal90

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Ah, stimmt ist ja auch logisch. Meine Zeichnung ist da ja auch recht unpassend gewählt.
Aber trotzdem gut zu wissen das ich an sich verstanden hab, wie ich die Funktionen Umschreiben muss.

Thx noch mal fuer deine ganze Hilfe heute. Gott

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