Fehler bei Abstandsberechnung

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14.03.2012, 12:51	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler bei Abstandsberechnung Guten Tag. Habe eine Frage zur Abstandsberechnung bzw. welchen Fehler ich dort mache! gegeben: ein Kreis (x-1)² + (y+2)² + (z-3)²=16 und eine Gerade: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ +t* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Für welche b-Werte ist die Gerade eine Passante Tangente und Sekante. Meine Idee: Abstandsberechnung über das Kreuzprodukt: Ich lese den Vektor des Kreismittelpunktes ab. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und subtrahiere den Vektor der Geraden $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Mit dem Ergebnis bilde ich das Kreuzprdoukt mit dem Richtungsvektor der Geraden und nehme davon den Betrag. Diesen teile ich durch den Betrag des Richtungsvektors. Wenn ich dann den b-Wert erhalten will setzte ich die Abstandsformel gleich 4. Dennoch scheine ich bei dem Vorgehen einen Fehler zumachen. Nun meine Frage ob das so überhaupt machbar ist?
14.03.2012, 15:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein und lösen nach t auf. Die Anzahl der Lösungen (0 oder 1 oder 2) bestimmt, bei welchem b eine Passante, Tangente oder Sekante entsteht.
14.03.2012, 16:22	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, dennoch bin ich noch nicht ganz schlau draus geworden. Setze ich die Gerade ein und vereinfache bishin zum Ende, steht da nun folgendes: 6t² + b² + +2t + 4b + -2bt - 10 = 0 Wie kann ich hieraus die B-Werte ablesen bei welchem die Gerade eine Tangente, Passante oder Sekante ist?
15.03.2012, 08:34	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mich nochmal damit auseinander gesetzt und die Art und Weise wie man das Problem löst ist klar. Dennoch tue ich mir hier mit dem auftretenden Parameter schwer weil ich nicht weiß wie man es weiter löst.
15.03.2012, 15:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze x=2+2t und y=b-t und z=1+t in die Kugelgleichung (x-1)²+(y+2)²+(z-3)2²=16 ein. Das liefert [(2+2t)-1]²+[(b-t)+2]²+[(1+t)-3]²=16. Dies ist eine quadratische Gleichung für t, die du auf die Normalform t²+pt+q=0 bringen solltest und mit der Lösungsformel lösen kannst. Anhand des Parameters b wird sichtbar, wann die Lösungsformel eine, zwei oder drei Lösungen liefert.
16.03.2012, 11:09	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das Prinzip habe ich verstanden, aber anscheinend mache ich beim rechnen einen Fehler. So jetzt schreibe ich mal ausführlich den Rechenweg hin: Kreisgleichung: (x-1)² + (y+2)² + (z-3)²=16 (2+2t-1)² + (b-t+2)² + (1+t-3)² =16 (1+2t)² + (b+t+2)² + (-2+t)² = 16 1+ 4t²+ 4t + 4 - 4t +t² + (b+t+2)²=16 5t²+5+ (b+t-2)² =16 6t²+b²-6b+6t-7=0 Wie erkenne ich nun aus dieser quadratischen Gleichung bei welchem b es eine Sekante, Tangente oder Passante ist? Die Klammer habe ich fett gemacht weil ich denke das dort der Fehler liegt und ich beim berechnen der binomischen Formel den Fehler mache
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19.03.2012, 09:45	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte mir einer nicht noch einen weiteren Hinweis zur Lösung der Aufgabe geben? Habe sie leider bisher noch nicht lösen können!
19.03.2012, 12:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du richtig schreibst, erhältst du nach Einsetzen der Gerade in die Kugelgleichung die Formel $\begin{eqnarray} (2+2t-1)^2 + (b-t+2)^2 + (1+t-3)^2 =16 \end{eqnarray}$ Wir multiplizieren die Klammern aus und erhalten $\begin{eqnarray} 4t^2-4t+1\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,t^2-2(b+2)t+(b+2)^2\,\,\,\,+\,\,\,\,t²-4t+4 =16 \end{eqnarray}$ Bringe dies auf die Allg. Form at²+bt+c=0, indem du nach Potenzen von t ordnest, also $\begin{eqnarray} \underbrace{6}_{a} t^2+\underbrace{(-4-2(b+2)-4)}_{b}\cdot t+\underbrace{1+(b+2)²+4-16}_{c}=0 \end{eqnarray}$ Division durch a=6 ergibt die Normalform t²+pt+q=0 $\begin{eqnarray} t²\underbrace{-\tfrac{4+2(b+2)+4}{6}}_{=p}\cdot t+\underbrace{\tfrac{1+(b+2)^2+4-16}{6}}_{=q}=0 \end{eqnarray}$ Fasse die Ausdrücke für p und q zusammen und wende die Lösungsformel an. Dann mache die Fallunterscheidung, für welches b man keine oder eine oder zwei Lösungen bekommt.
20.03.2012, 11:28	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe es nochmal berechnet, aber muss dennoch zugeben das ich noch kein ein brauchbares Ergebnis erhalten habe! t² - $\begin{eqnarray} \frac{4+2b}{6} \end{eqnarray}$ t + $\begin{eqnarray} \frac{b² + 4b + 4}{6} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{11}{6} \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich dies einfach in die pq- Formel einsetzten und die soll mir dann das Ergebnis liefern. Im Prinzip muss ich mir ja nur die Diskriminante angucken oder? Denn sie zeit einem ja ob es nun eine Tangente Sekante oder Passante ist.
20.03.2012, 11:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich verrechnet. Die quadratische Gleichung muss heißen $\begin{eqnarray} t^2-\tfrac{2b+12}{6}\cdot t+\tfrac{(2+b)^2-11}{6}=0 \end{eqnarray}$ Mit der Lösungsformel ergibt sich $\begin{eqnarray} t_{1;2}=\tfrac{b+6}{6}\pm\sqrt{\left ( \tfrac{b+6}{6}\right )^2-\tfrac{(2+b)^2-11}{6}} \end{eqnarray}$ Der Term unter Wurzel entscheidet über die Anzahl der Lösungen. Damit kannst du den Parameter b bestimmen. Rechne alles nochmal nach, um Rechenfehler auszuschließen.

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