charakteristisches Polynom

15.03.2012, 09:54

Sinnlos

charakteristisches Polynom

Meine Frage:
Ich soll für die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Eigenwerte berechnen.

Meine Ideen:
Ich würde das über das charakteristische Polynom machen.
Die Matrix sieht jetzt ja wirklich einfach aus, gibt es da vielleicht einen Trick bzw. kann man das Polynom irgendwie ablesen oder muss ich rechnen?

15.03.2012, 11:11

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst wohl oder übel rechnen. Wobei ich mich frage weshalb du dich dagegen wehrst.

15.03.2012, 11:27

Sinnlos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war eine Matrix aus einer mündlichen Prüfung und da kann ich mir nicht vorstellen, dass man entwickeln soll etc. weil die Prüfung nur 30 minuten geht!

Ich habe aber jetzt was gelesen:
und zwar ist dim Kern=3<n=4 , d.h. 0 muss ein Ew sein mit algebraischer vielfachheit 3
Und über die Spur weiß man das die Summe der Eigenvektoren 4 sein muss, also haben wir einen zweiten Ew=4 mit vielfachheit 1

Könnte mir vielleicht jemand erklären warum genau das so ist?

15.03.2012, 11:41

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön wenn die Informationen immer erst nachgereicht werden.
Für das charakteristische Polynom einer $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ -Matrix A gilt:
$\begin{eqnarray*} char(A)=X ^n - Spur (A) X^{n-1}+ \ldots + (-1)^n det(A) \end{eqnarray*}$
Zerfällt das char. Polynom so ist es natürlich auch gleich dem Produkt aller $\begin{eqnarray*} (X-\lambda_i) \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ die EW mit algebraischer Vielfachheit sind, daraus folgt

Zitat:

Und über die Spur weiß man das die Summe der Eigenvektoren 4 sein muss

(was wie gesagt nur unter der Voraussetzung gilt, dass das char. Pol. zerfällt)

Zitat:

und zwar ist dim Kern=3<n=4 , d.h. 0 muss ein Ew sein mit algebraischer vielfachheit 3

Da $\begin{eqnarray*} Ker(A)=Eig(0) \end{eqnarray*}$ und dem wohlbekannten Zusammenhang von geom. und algebraischer Vielfachheit.

Edit: TeX-Fehler ausgebessert.

Neue Frage »

Antworten »

charakteristisches Polynom

Verwandte Themen