unendlichdimensionaler Vektorraum

15.03.2012, 12:00

fleurita

unendlichdimensionaler Vektorraum

Meine Frage:
hi! Ich versuch grad einzelne wissenspuzzle stücke zusammen zu fügen. Ein $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\{v_1,...\} \end{eqnarray*}$ heißt ja basis eines IK-vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn sich jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ als linearkombination der vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Meine Ideen:
Allerdings muss eine linearkombination doch endlich sein, oder? Aber wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} (1,1,...)\in V \end{eqnarray*}$ habe und $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\{e_1, e_2,...\} \end{eqnarray*}$ habe, dann ist doch $\begin{eqnarray*} (1,1,...)=\sum\limits_{i=1}^\infty e_i \end{eqnarray*}$ nicht endlich... Aber jedes endliche $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \varsubsetneq \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} (1,1,...) \end{eqnarray*}$ doch nicht erzeugen.

Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ dann gar keine basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ? Oder was läuft hier dann schief?

15.03.2012, 12:08

lgrizu

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RE: unendlichdimensionaler Vektorraum
Bei unendlich dimensionalen VR ist es teilweise sogar fast unmöglich, eine konkrete Basis anzgeben, und teilweise hat sie auch keinen praktischen Nutzen.

In dem Fall der (abzählberen) unendlichkeit ist es nicht unüblich, ein Element des VR als Reihe anzugeben, es existiert für ein Element ja auch keine endliche Darstellung als Linearkombination.

Noch verzwickter wird es, wenn man sich den VR der Funktionen von IR nach IR anschaut, also den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{ \mathbb R} \end{eqnarray*}$ (das Skalarprodukt ist hier die Integration).

15.03.2012, 12:10

ollie3

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RE: unendlichdimensionaler Vektorraum
hallo fleurita,
ja, es ist wirklich so, ein unendlich-dimensionaler vektorraum kann keine basis
mit nur endlich vielen basisvektoren haben.
gruss ollie3

15.03.2012, 12:28

fleurita

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RE: unendlichdimensionaler Vektorraum
danke euch für eure antworten. Das heißt in meinem fall für $\begin{eqnarray*} V=\mathbb K^{|\mathbb N|} \end{eqnarray*}$ gibt es gar keine basis? Aber $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist aber trotzdem ein vektorraum, oder?

Was ist wenn ich den vektorraum so mache: $\begin{eqnarray*} W:=\{(\lambda_1, \lambda_2,...)\ |\ \lambda_i\in \mathbb K\ \wedge \text{nur endlich viele }\lambda_i \neq 0 \} \end{eqnarray*}$ , dann kann ich doch $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\{e_1, e_2,...\} \end{eqnarray*}$ als basis nehmen, oder?

15.03.2012, 13:02

ollie3

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RE: unendlichdimensionaler Vektorraum
hallo fleurita,
zu deiner ersten frage:ja
zu deiner zweiten frage: so, wie du W konstruiert hast, hast du zwar der form nach theoretisch
auch einen unendlich-dimensionalen vektorraum, aber durch diesen trick, das nach endlich vielen
lambdas nur noch nullen kommen, ist der raum endlich erzeugt, hat also eine endliche basis.
gruss ollie3

15.03.2012, 13:07

jester.

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ollie3, das ist leider beides nicht richtig. Jeder Vektorraum hat eine Basis, zumindest dann, wenn man das Auswahlaxiom zulässt.
Und der zweite Raum ist nicht endlichdimensional, er ist isomorph zum Polynomvektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , seine Basis ist abzählbar unendlich.

Zitat:

Original von Reksilat
Bitte überlege Dir Deine Antwort in Zukunft gründlicher.

aus Gruppe ... wirkt transitiv auf ... darfst du dir gerne zu Herzen nehmen.

15.03.2012, 14:03

lp-raum

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Zitat:

Ein $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\{v_1,...\} \end{eqnarray*}$ heißt ja basis eines IK-vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn sich jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ als linearkombination der vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Das ist noch nicht die ganze Definition, B muss auch noch linear unabhängig sein.

Zitat:

Original von fleuritadanke euch für eure antworten. Das heißt in meinem fall für $\begin{eqnarray*} V=\mathbb K^{|\mathbb N|} \end{eqnarray*}$ gibt es gar keine basis?

Interessanterweise lässt sich hier keine Basis explizit angeben, obwohl sich die Existenz einer Basis für jeden Vektorraum beweisen lässt.

15.03.2012, 14:08

fleurita

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danke

dann hab ich jetz wieder mein wissenspuzzel etwas weiter vervollständigt smile

Darf ich noch fragen, warum man keine unendliche linearkombination zulässt? Oder ist das erstmal noch egal im 1. semster?

@lp-raum
wollte grad meine antwort abschicken, dann hab nach vorschau drücken gesehen, dass du mir auch geantwortet hast smile

Stimmt, ich hab ... jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ eindeutig als linearkombination... vergessen. Danke deine antwort hilft mir auch weiter.

ah und was bedeutet das hier? smile

Zitat:

Original von jester.
aus Gruppe ... wirkt transitiv auf ... darfst du dir gerne zu Herzen nehmen.

15.03.2012, 14:20

lp-raum

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Wenn man "unendliche Linearkombinationen" zulassen wollte, müsste man ja auch einen Konvergenzbegriff erklären. Es ist aber nicht klar, wie das in einem allgemeinen Vektorraum aussehen sollte (und mir ist auch keine sinnvolle Möglichkeit bekannt). Z.B. um von Konvergenz von Reihen reeller Zahlen zu reden, braucht man die Anordnung der Zahlen bzw. eine Abstandsfunktion, und so etwas steht in allgemeinen Vektorräumen nicht zu Verfügung.

Speziell für Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , die bezüglich einem gegebenen Skalarprodukt vollständig sind (sog. Hilberträume), ergibt es aber Sinn sich "Basen" (sog. Hilbertbasen) anzusehen, sodass sich jedes Element eindeutig als so eine unendliche Reihe schreiben lässt, und es gibt eine ganze kleine (und z.B. für die Physik wichtige) Theorie dazu, aber das ist dann eben ein anderer Begriff, der in diesen Vektorräumen mit dem üblichen Basisbegriff koexistiert.

15.03.2012, 14:26

fleurita

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okay

vielen dank für eure hilfe! Blumen