Erzeugnis eines Untervektorraums

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fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugnis eines Untervektorraums
Meine Frage:
hey! Es heißt, wenn ein komplement von sein soll, muss u.a.

es gilt ja

aber was ist ?

Meine Ideen:
Soll ich da einfach 2 basen und wählen und

dann ist ? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Indizes in der Summenbildung musst du noch einmal überdenken. Ansonsten kannst du das so machen. Natürlich nur für endliche Vektorräume.
ist der von der Menge aller in und enthaltenen Vektoren aufgespannte Untervektorraum von V. Das ist die Summe der Untervektoräume. Das ist der Durchschnitt aller Untervektorräume von , die und enthalten.
Dass die Untervektorräume komplementär sind ist gleichbedeutend damit, dass die Summe = V und direkt ist, d.h.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja ok smile

du sagst und in meinem skript steht .

Aber ich kann ja schlecht jeden der unendlich vielen Vektoren addieren. Mach ich das dann über die Basen der UVRe? Also seien und Basen. Dann gilt und


Demnach müsste doch .


oder? smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig, die Vektoren sind aber nicht nur irgendwelche Vektoren, sondern Basisvektoren. Und die Indizes würde ich trennen, weil sie bis k bzw. l laufen.
.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile

Was ist dann eig ? Das bedeutet ja, dass ich jedenVektor, der in beiden Mengen liegt nehme. Kann ich das auch wieder über die Basis machen?

.

Sieht aber echt kompliziert aus was da gemacht hab smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was nützt das ? Jetzt haben wir umständlich die Summe und Durchschnitt von 2 Untervektorräumen dargestellt, wenn wir zwei Basen kennen. Für unendlichdimensionale Vektorräume geht das so nicht. Von einem Beweis für die Behauptung sind wir weiter entfernt als gestern. Da hilft nur nachdenken, am besten auf der Grundlage geeigneter Definitionen.
 
 
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

hm also mir gings es hier eher um das allgemeine verständnis wie man den schnitt und die summe von Vektorräumen berechnen kann bzw. was das überhaupt genau ist. Wir haben bisher nur endlichdimensionale Vektorräume behandelt bzw. nur diese sind klausurrelevant smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man keine Basis kennt, kann man auch nicht von berechnen sprechen. Das ist auch nur eine andere Darstellung von etwas, was man nicht kennt. Wie du selbst siehst, ist alles nur komplizierter geworden. Einfacher wird es, wenn du die einfachen Definitionen akzeptierst.

Durchschnitt ist ein UVR von V
Summe ist eine UVR von V
direkte Summe : , falls ist ein UVR von V
Erzeugnis <M>=Durchschnitt aller Untervektorräume von V, die M enthalten. Das ist ein UVR von V. Zum Beispiel ist (Beweis ?)
Ein UVR W von V heißt ein Komplement von U, wenn U+W=V und U+W direkte Summe ist. (Damit ist der Beweis so gut wie fertig. Du musst das nur noch in eine richtige Reihenfolge bringen.)
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