Wegzusammenhang --> Zusammenhang

17.03.2012, 14:10

Gast11022013

Wegzusammenhang --> Zusammenhang

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum.

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ wegzusammenhängend $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ zusammenhängend

Meine Ideen:
Moin, ich würde es so beweisen:

Angenommen, $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ ist nicht zusammenhängend, dann $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2, O_1, O_2\in\mathcal{O}, O_1\neq\emptyset\neq O_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Wähle $\begin{eqnarray*} x\in O_1, y\in O_2 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} O_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_2 \end{eqnarray*}$ disjunkt sind, kann es keinen Weg von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geben, der ganz in $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2 \end{eqnarray*}$ liegt, also ist $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ nicht wegzusammenhängend. Widerspruch

17.03.2012, 14:22

pseudo-nym

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RE: Wegzusammenhang --> Zusammenhang

Zitat:

Original von Dennis2010
Da $\begin{eqnarray*} O_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_2 \end{eqnarray*}$ disjunkt sind, kann es keinen Weg von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geben, der ganz in $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2 \end{eqnarray*}$ liegt, also ist $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ nicht wegzusammenhängend. Widerspruch

Das musst du mehr ausführen, denn Disjunktheit alleine reicht nicht um einen Widerspruch zu produzieren. Wo benutzt du die Offenheit von $\begin{eqnarray*} O_1, O_2 \end{eqnarray*}$ ?

17.03.2012, 14:29

Gast11022013

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RE: Wegzusammenhang --> Zusammenhang
Ich habe die Offenheit noch gar nicht benutzt...

Also, was mir klar ist, ist, daß $\begin{eqnarray*} O_1\cup O_2 \end{eqnarray*}$ als Vereinigung offener Mengen ebenfalls offen ist, ebenso $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2 \end{eqnarray*}$ .

Kannst Du mir einen Tipp geben, wie ich die Offenheit einbeziehen muss?

Edit: Meine Idee wäre, daß man die Offenheit für die Stetigkeit des Weges benötigt.

Nach Annahme gibt es ja eine stetige Abbildung

$\begin{eqnarray*} w\colon I\to X, w(0)=x, w(1)=y \end{eqnarray*}$ .

Und dann:

$\begin{eqnarray*} w^{-1}(O_1\cap O_2)=w^{-1}(O_1)\cap w^{-1}(O_2)=\emptyset \end{eqnarray*}$

So richtig nützen tut das einem aber glaube ich hier nichts - oder aber ich erkenne es nicht.

17.03.2012, 17:10

pseudo-nym

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Was du da tust geht schon in die richtige Richtung.

Du kannst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ mit der Standardtopologie nicht zusammenhängend ist.

17.03.2012, 17:29

Gast11022013

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Okay, wenn $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend (hinsichtlicher der auf diesem Intervall induzierten Standardtopologie) ist, so bedeutet das ja:

$\begin{eqnarray*} [0,1]=B_1\cup B_2, B_1, B_2\in\left\{[0,1]\cap O~|~O\in\mathcal{O}\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_1\neq\emptyset\neq B_2, B_1\cap B_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man doch $\begin{eqnarray*} B_1:=w^{-1}(O_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2:=w^{-1}(O_2) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} [0,1]=w^{-1}(O_1)\cup w^{-1}(O_2) \end{eqnarray*}$

nehmen, würde ich meinen.

Da $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt doch auch $\begin{eqnarray*} B_1\cap B_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} x\in O_1, y\in O_2 \end{eqnarray*}$ und der Weg von x nach y verlaufen soll, liegt jeder Weg doch nicht innerhalb von X. Ich weiß nicht genau, wie ich das ausdrücken kann.

17.03.2012, 17:37

pseudo-nym

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Generell stimmt da, aber

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} x\in O_1, y\in O_2 \end{eqnarray*}$ und der Weg von x nach y verlaufen soll, liegt jeder Weg doch nicht innerhalb von X.

verstehe ich nicht.

17.03.2012, 17:43

Gast11022013

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Ich habe also jetzt gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend ist.

Man kann das Intervall also sozusagen aufteilen in zwei offene disjunkte Intervalle.

Deren Bilder liegen einmal in $\begin{eqnarray*} O_1 \end{eqnarray*}$ und im anderen Fall in $\begin{eqnarray*} O_2 \end{eqnarray*}$ , die disjunkt sind.

Wenn die Bilder aber disjunkt sind und man jetzt ein Element aus $\begin{eqnarray*} O_1 \end{eqnarray*}$ und eines aus $\begin{eqnarray*} O_2 \end{eqnarray*}$ als Anfangs- und Endpunkt nimmt, so kann der Weg zwischen ihnen doch nicht die ganze Zeit in $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2 \end{eqnarray*}$ liegen, wegen der Disjunktheit von $\begin{eqnarray*} O_1, O_2 \end{eqnarray*}$ . Er muss doch sozusagen einmal $\begin{eqnarray*} O_1 \end{eqnarray*}$ verlassen, um nach $\begin{eqnarray*} O_2 \end{eqnarray*}$ zu kommen und in dem Moment liegt er doch nicht in X.

Das war mein Gedanke.

17.03.2012, 18:24

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Dennis2010
Man kann das Intervall also sozusagen aufteilen in zwei offene disjunkte Intervalle.

Nein, man kann das Intervall in zwei offene Menge aufteilen, dass diese Intervalle sind ist nicht gegeben.

Allgemein kannst du auf zwei Arten fortfahren. Wenn du schon weißt, dass $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist, bist du fertig,
Anderenfalls musst du diese Aussage noch zeigen um einen Widerspruch zu erzeugen.

17.03.2012, 18:27

Gast11022013

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Achso, jetzt verstehe ich!...

$\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist zusammenhängend (hatten wir in der Vorlesung) und daher ist es zu einem Widerspruch gekommen.

Danke!

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