Ring oder Körper? Wie werden die Axiome angewendet?

18.03.2012, 09:15

mja

Ring oder Körper? Wie werden die Axiome angewendet?

Hallo liebe Mathematiker! Ich habe die folgende Aufgabe:
Prüfen Sie ob $\begin{eqnarray*} T:=\left\{ a + b\sqrt{2} | a,b \in Z\right\} \subset R \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation
Ring oder Körper ist.
So ich weiß, dass die folgenden Axiomen erfüllt werden müssen:
Ring: $\begin{eqnarray*} (M, +, \cdot ) \end{eqnarray*}$

R1: (M, +) abelsche Gruppe;
R2: $\begin{eqnarray*} (M, \cdot) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen sein muss und Assoziativgesetz erfüllt werden muss
R3: Distributivgesetz gültig
Nullelement und Einselement existieren müssen.

Körper: $\begin{eqnarray*} (K, +, \cdot ) \end{eqnarray*}$

K1: (M, +) abelsche Gruppe;
K2: $\begin{eqnarray*} (K, \cdot) ohne \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ abelsche Gruppe;
K3: Distributivgesetz gültig ist;

Na ja, weiß ich was eine abelsche Gruppe ist, was kommutatuv, distributiv und assoziativ Gesetz ist aber
meine Frage: Wie kann ich diese Axiomen auf die Aufgabe verwenden?

18.03.2012, 09:28

lgrizu

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RE: Ring oder Körper? Wie werden die Axiomen angewendet?ndet
Einfach mal nachrechnen.

Nimm dir zwei Elemente aus T und schaue, welche Gesetze gelten.

Einige muss man auch nicht nachprüfen, da sie sich vererben.

18.03.2012, 11:58

mja

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Ring oder Körper? Wie werden die Axiomen angewendet?ndet
So, wenn ich richtig verstanden habe, muss die Lösung wie folgt sein :

Sei c,z,x,y aus T

a=x; und $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

R1: (M, +): 1. a + $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ = x + y
2. (a + $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) + c = a + ( $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ + c )
3. Sei e N.E. => x+e=x, e=0
4.Sei x' IE => x + x' = e, => x=-x'
5. a + $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ + a gültig in Z

R2: $\begin{eqnarray*} (M, \cdot) \end{eqnarray*}$
A.G. -> (a* $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )*c=a*( $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ *c)

R3: Distributivgesetz (a + $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )*c = a*c + $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ *c in Z

Sei q einselement => a*q=a, q=1 -> Einselement existiert

So, wie geht's dann weiter mit den Körperaxiomen. Wie schon gezeigt, ist das eine abelsche Gruppe und D.G. gilt. Ist das nicht schon einen Körper?

18.03.2012, 12:02

Elvis

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Um Axiome zu beweisen, musst du Elemente aus der Menge nehmen .

z.B. : Addition kommutativ heißt für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt 2) + (c+d\sqrt 2) = (c+d\sqrt 2)+(a+b\sqrt 2) \end{eqnarray*}$

18.03.2012, 12:57

Mystic

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RE: Ring oder Körper? Wie werden die Axiomen angewendet?ndet

Zitat:

Original von lgrizu
Einfach mal nachrechnen.

Nimm dir zwei Elemente aus T und schaue, welche Gesetze gelten.

Einige muss man auch nicht nachprüfen, da sie sich vererben.

Wenn ich diese 3 Ratschläge mal der leichteren Referenzierbarkeit wegen mit 1)-3) durchnummeriere, so gilt:

ad 1) Einfach mal nachrechen (im Sinne von "drauflosrechnen") ist oft richtig, hier gerade nicht, denn man sollte schon sowas wie einen Plan haben.

ad 2) Oder besteht der Plan darin, einfach alle Gesetze, die für einen Ring bzw. Körper gelten müssen, der Reihe nach zu überprüfen? Das kann es wohl nicht sein, denn...

ad 3) Ja, richtig, fast alle Gesetze gelten ja bereits im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlen, erst recht also in obiger Teilmenge T davon. Bei noch genauerem Hinsehen, verbleiben für den Nachweis der Ringeigenschaft nur mehr die Abgeschlossenheit bezüglich der Subtraktion(!) und der Multiplikation von zwei Elementen in T... Um zu sehen, ob T sogar einen Unterkörper bildet, muss man ferner noch die Abgeschlossenheit bez. der Bildung multiplikatitiver Inverser für Elemente $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 in T überprüfen... Auch hier empfielt es sich, sich nicht gleich "ins Gewühl zu stürzen", sondern sich zuerst zu überlegen, ob einzelne Elemente in T, z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ oder auch 2, ein Inverses in T besitzen...

18.03.2012, 22:40

lgrizu

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RE: Ring oder Körper? Wie werden die Axiomen angewendet?ndet
@Mystic

Das sollte schon in Symbiose miteinander passieren, vielleicht wäre folgende Reihenfolge sinnvoller gewesen:

Welche Gesetze werden vererbt?

Für die verbleibenden Gesetze nimm dir zwei Elemente aus T und rechne nach.

Einfach drauflos rechnen habe ich damit auch nicht gemeint, man sollte schon schauen, worauf man hinaus möchte.

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