Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen

19.03.2012, 15:42

bg

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Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen

Sei ~ $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ (N × N*)^2 die Relation definiert durch (a,b) ~ (c,d) $\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$

(a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Was ist die Äquivalenzklasse von (0,6)? Was die A quivalenzklasse von (3,6)?
(c) Wie ko nnen die Äquivalenzklassen graphisch dargestellt werden?

Wäre dankbar für etwaige Hilfe!

lg

19.03.2012, 15:50

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Wie ist eine Äquivalenzrelation definiert?
Was ist zu zeigen?

19.03.2012, 16:22

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Also damit eine Äquivalenzrelation vorliegt muss die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv sein!

was bedeutet "Zeigen sie dass ~ eine Relation ist", verstehe die ~ nicht recht..

19.03.2012, 17:28

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Also, du hast hier eine Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N\times\mathbb N^* \end{eqnarray*}$ .
Du kannst diese nun wie oben darstellen als $\begin{eqnarray*} \sim\subseteq\left(\mathbb N\times\mathbb N^*\right)^2 \end{eqnarray*}$ , das ist aber für die Aufgabe nicht entscheidend.

Entscheidender ist, dass diese Relation wie folgt definiert ist:
$\begin{eqnarray*} \left(a,b\right)\sim\left(c,d\right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$
Ist dir diese Definition denn klar?

Nun musst du die von dir genannten Kriterien nachweisen.

PS: Es wäre hilfreich, wenn du in Zukunft erwas präzisere Fragen stellst, damit klar wird worauf du hinauswillst.

19.03.2012, 22:05

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Tut mir leid, werd in Zukunft mein Problem genauer beschreiben!

JA genau diese Definition versteh ich nicht wirklich..

19.03.2012, 23:22

dmirschi

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Die Bedeutung der Definition ist doch klar oder? Zwei Zahlenpaare sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Bruch repräsentieren.

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20.03.2012, 10:50

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Die Funktion ist reflexiv, ist immer wahr!
Auch symmetrisch weil a ~ b mit b ~ a äquivalent ist.
Ich glaube auch transitiv, weil sie eben den gleichen Bruch darstellen wobei ich mir da nicht ganz sicher bin, somit wäre es mal eine Äquivalenzrelation!

Aber wie kommt man nun auf die Äquivalenzklassen, dass wäre eigentlich die größere Frage die ich hätte!

20.03.2012, 10:54

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Naja, du solltest deine Begründungen schon etwas mehr ausformulieren und nachrechnen. Zumindest solltest du nun aufschreiben kö nnen was genau zu zeigen ist.

Die Äquivalenzklassen erhälst du, indem du alle zu diesem Repräsentanten äquivalenten Elemente bestimmst.

20.03.2012, 11:46

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
reflexiv weil für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gilt das x ~ x

symmetrisch ist die Relation weil $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ gilt das x ~ y => y ~ x
zB 1,2 und 2,1, austauschbar und quersumme bleibt gleich, in dem Fall wäre jedoch 1/2 bzw 2/1, ist das dann überhaupt symmetrisch?

Transitivität zu beweisen stellt mich auch gerade vor ein Problem

Muss ich mir für die Beweise eine Menge ausdenken oder keine Ahnung?
Aller Anfang ist schwer, tut mir leid wenn die Antworten auf die Fragen vermeintlich einfach wären!

20.03.2012, 12:31

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
ok ist es symmetrisch weil 2/1 = 1/2 was 2^-1 ist
und 2/1 ist 2 bzw 2^1?

20.03.2012, 13:57

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von bg
reflexiv weil für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gilt das x ~ x

Ja, aber warum? Wie sehen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus? Auf $\begin{eqnarray*} x \sim x \end{eqnarray*}$ musst du die Definition der Relation anwenden, wie sieht das dann aus?

Zitat:

Original von bg
symmetrisch ist die Relation weil $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ gilt das x ~ y => y ~ x
zB 1,2 und 2,1, austauschbar und quersumme bleibt gleich, in dem Fall wäre jedoch 1/2 bzw 2/1, ist das dann überhaupt symmetrisch?

Die Argumentation verstehe ich nicht. Erstens ist es nicht ausreichend, die Aussage für ein konkretes Beispiel zu zeigen, die Aussage muss vielmehr für alle möglichen Elemente gezeigt werden, zweitens, was hat die Quersumme damit zu tun?
Zu zeigen ist also $\begin{eqnarray*} x \sim y \Rightarrow y ~\sim x \end{eqnarray*}$ , erster Schritt wäre es, die Definition der Relation einzusetzen. Mach das mal.

Zitat:

Original von bg
Transitivität zu beweisen stellt mich auch gerade vor ein Problem

Muss ich mir für die Beweise eine Menge ausdenken oder keine Ahnung?
Aller Anfang ist schwer, tut mir leid wenn die Antworten auf die Fragen vermeintlich einfach wären!

Erster Schritt ist es erstmal, die Definition der Transitivität anzuwenden. Dann wendest du die Definition der Relation an.

Zitat:

ok ist es symmetrisch weil 2/1 = 1/2 was 2^-1 ist
und 2/1 ist 2 bzw 2^1?

Das verstehe ich nicht verwirrt

verwirrt

20.03.2012, 14:19

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
reflexiv:
naja wenn ich in die Definition x einsetze dann ist ja immer $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$

symmetrisch:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

transitiv:
Definition ist x => y und y =>z => x => z
also $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{x}{z} \end{eqnarray*}$

hmm, die transitivität sieht komisch aus...

20.03.2012, 14:46

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von bg
reflexiv:
naja wenn ich in die Definition x einsetze dann ist ja immer $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$

Irgendwas hast du da falsch verstanden, der Folgepfeil macht an der Stelle überhaupt keinen Sinn. Der hat nur bei Aussagen einen Sinn.
Außerdem ist nach Definition $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb N \times\mathbb N ^* \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=\left(x_1,x_2\right) \end{eqnarray*}$ .
Die Relation ist nun definiert als
$\begin{eqnarray*} \left(a,b\right)\sim\left(c,d\right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$
Das, was du dahingeschrieben hast, ist also nicht die Definition
Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray*} \left(x_1,x_2\right)\sim\left(x_1,x_2\right) \end{eqnarray*}$ , das kannst du durch einfaches Einsetzen nachweisen.

20.03.2012, 15:00

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
kann ich das quasi durch einsetzen von zB x1 = 1 und x2 = 2 überprüfen?
(1,2) ~ (1,2)

bzw symmetrie
(1,2) = (2,1) und (2,1) = (1,2)

ganz grob gesagt.....

und was hat das alles dann bitte mit a/b und c/d zu tun?
muss ich das überhaupt noch weiter beachten?

20.03.2012, 15:09

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von bg
kann ich das quasi durch einsetzen von zB x1 = 1 und x2 = 2 überprüfen?

Nein, immer noch nicht:

Zitat:

Erstens ist es nicht ausreichend, die Aussage für ein konkretes Beispiel zu zeigen, die Aussage muss vielmehr für alle möglichen Elemente gezeigt werden, ..

Weshalb stellst du also die selbe Frage erneut?

Ich habe in meinem vorherigen Beitrag ganz genau beschrieben was zu tun ist.

Zitat:

Original von bg
und was hat das alles dann bitte mit a/b und c/d zu tun?
muss ich das überhaupt noch weiter beachten?

Bitte lies dir ein gutes Buch zu den mathematischen Grundlagen durch. Es hat bei deinem Kenntnisstand ehrlich gesagt keinen Sinn, Äquivalenzrelationen zu behandeln, wenn die nötigen Grundlagen fehlen.

20.03.2012, 17:22

bg

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Ich weiß, bin Quereinsteiger, erwarte bereits das Buch!

Habe jedoch diese Woche dieses Beispiel zu lösen und hatte mir von diesem Beitrag erklärende Hilfe bzw einen Lösungsvorschlag erhofft, aber gut. Danke.

20.03.2012, 18:53

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation / Äquivalenzklassen
Du findest im Internet auch jede Menge Material dazu.

Ich habe dir auch einen Lösungsvorschlag geliefert, du solltest aber wirklich erstmal die Grundlagen vertiefen bevor du dich weiter mit dieser Aufgabe beschäftigst.

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