Ringe, Homom, Isom, Ideale

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linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe, Homom, Isom, Ideale
hallo,
ich habe eine aufgabe, die etwas an diese aufgabe erinnert:

auf matheboard folgender thread:

thread.php?threadid=486571

ganz genau hier jetzt:
es sind 4 ringe gegeben, die untersucht werden sollen. untersucht heißt in diesem fall, dass alle möglichen homomorphismen und isomorphismen aufgestellt werden und die ideale bestimmt werden.

das habe ich mal versucht und dachte, ihr könntet mich feedbacken, was ihr davon haltet.

also es handelt sich um folgende ringe:


1.
Den homomorphismus zwischen 1. und 4. kann ich ja wie im angegebenen thread machen, genauso muss ja dann auch der homom. zwischen 1. und 3. aussehen, richtig? zwischen 1. und 2. kann ich ja dann auch einen homomorphismus machen, indem ich auf a + sqrt(2) abbilde. also habe ich zwischen 1 und allen anderen homomorphismen.
bezüglich der ideale sage ich bei 1. folgendes: alle ideale sind hauptideale, also handelt es sich um einen hauptidealring.
muss ich, wenn es heißt, man solle die ideale bestimmen nun noch was dazu sagen, oder was genau bedeutet das?

2.
die basis ist ja 1, sqrt(2), der angegebene ring ist auch ein hauptidealring, da es sich um einen körper handelt.
2. ist isomorph zu 3., also eigentlich auch zu 4., oder?
reicht das?

3.
ist isomorph zu 4.? das maximale ideal ist hier <x^2-2> und das ist ein hauptideal. im prinzip würde ich sagen, dass es auch ein hauptidealring ist, da es ein körper ist. stimmt das? ich werde mir von punkt zu punkt etwas unsicherer glaube ich. kann ich sonst noch was zu idealen sagen?

4.
x^2 ist ja eigentlich kein irreduzibles polynom, also ist <x^2> nicht maximal, stimmt das? auf jeden fall ist es aber ein ideal. ansonsten weiß ich nicht wirklich, was ich noch dazu sagen kann, auch bezüglich der ideale nicht. abbildungen wurden ja in den vorherigen punkten abgehakt.


ich hoffe das war jetzt nicht zu viel auf einmal und hoffe, dass sich jemand die zeit nimmt um mir zu helfen. ich freue mich über jegliche hilfe und korrektur.

liebe grüße
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

habe bei 4. das [x] vergessen, es soll heißen
Q[x]/<x^2> kann leider nicht editieren, sorry
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

4. ist nicht isomorph zu den anderen, denn wie du richtig ausführst ist x^2 nicht irreduzibel, 4. kann also kein Körper sein.
Alle Ideale bei 1. anzugeben ist etwas schwierig. Wobei ja eigentlich auch die Primideale die deutlich wichtigeren sind, aber selbst bei denen tue ich mich schwer die alle gut aufzuschreiben. Wie lautet denn die exakte Aufgabenstellung, das was du hier postet als Aufgabenstellung ist doch sehr unpräzise auch bzgl. der Homomorphismen. Soll jeweils der Ring der Hom´s Hom(.,.) bestimmt werden oder nur die Isomorphien untereinander?
Und ja 2. und 3. sind isomorph und Körper.
Aber was hast du mit der Vektorraum-Basis vor?
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

danke erst mal für deine antwort. freut mich schonmal, wenn ich nicht komplett daneben liege.
das problem ist, dass eine freundin von mir vor kurzem eine mündliche prüfung hatte, in der eine offene fragestellung ähnlich zu dieser auftrat.
also gibt es weder musterlösung, noch komplett präzise ausführung. deshalb dachte ich auch, ich wende mich mal an das forum, um zu sehen, was ihr noch antowrten würdet.


bei 4.:
damit es isomorph sein kann zu den anderen, muss x^2 irreduzibel sein? das wusste ich so nicht glaube ich.
mit 4. tu ich mich noch generell etwas schwer. jedes element hat doch die form a + bx, also genau so wie bei 3., deshalb dachte ich, dass es einen isomorphismus zwischen den beiden geben könnte, bzw kann mir anschaulich nicht vorstellen warum nicht.


das mit der basis habe ich nur angeführt, um zu zeigen, dass ich das weiß, wusste aber nicht, ob es zu irgend etwas gut sein könnte.

was ich bisher gemacht habe, wäre ja eher die isomorphien untereinander zu bestimmen, ja?! wäre nach dem ring der homom. gefragt, wie du meinst, wie müsste ich das formulieren?

danke und liebe grüße
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das problem ist, dass eine freundin von mir vor kurzem eine mündliche prüfung hatte, in der eine offene fragestellung ähnlich zu dieser auftrat.

Das heißt wohl das es dem Prof eher darum ging mal zu schauen was in dem ganzen Kontext bekannt ist als eine wirklich exakte Beantwortung aller Fragen.

Da x^2 nicht irreduzibel ist, ist des Ideal <x^2> nicht prim, insbesondere nicht maximal, also ist 4. kein Körper. Damit kann 4. nicht isomorph zu 2. sein, das ja per def. ein Körper ist.
Es ist z.B X ein Nullteiler in 4.

Da du die Basis hier für nichts verwendest würde ich das in der Prüfung auch nicht erwähnen - sowas wirkt auf mich nach: ich schmeiße mit Begriffen um mich irgendwas wird schon passen.
Und in einer mündlichen Prüfung wird man eher nicht nach allen Hom´s fragen, ist hier wohl eher als Einstiegsfrage gedacht mal ein, zwei Hom´s zu skizzieren.
Hier wäre dann aber wohl doch noch interessant wie die Primideale des 1. Rings aussschauen (bzw. was deren Erzeuger erfüllen müssen) und die Ideale von 2. und insbesondere von 4. aussehen.
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das mit dem isomorphismus bei 4. habe ich verstanden, danke.
da das ja nur ein kleiner teil einer 30 minütigen prüfung war, dachte ich auch, dass man die frage nicht bis ins letzte ausschöpfen wird.

jetzt aber zu dem, was du am ende ansprichst:
genau damit hatte ich mein größtes problem, als ich mir die lösung zur aufgabe überlegt habe... mit dem bestimmen der ideale...
primideale bei 1., ideale bei 2. und 4. ich habe keine idee, wie ich da rangehen kann, wie solche ideale auf die aufgabe jetzt angewendet aussehen. ich weiß, dass es sich um ein ideal handelt, wenn ich ein beliebiges element aus dem ring von rechts / links an ein element des ideals ranmultiplizieren kann und dabei im ideal bleibe. aber konkret, das fällt mir äußerst schwer.
wenn du mir das noch erklären könntest, wäre ich sehr glücklich smile
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ideale müssen auch noch additive Gruppen sein....

zur 1. was ist ein Primideal?
Und was hat die Irreduzibilität eines Elements eines faktoriellen Rings (auch UFD\ZPE-Ring genannt) damit zu tun?
2. Bei Körpern ist das mit den Idealen sehr einfach. Was passiert mit einem ideal wenn es eine einheit des Rings enthält?
4. Hier wäre es nützlich zu wissen was mit den Idealen eines Rings nach Quotuientenbildung passiert.

Schun mer mal was dir dazu einfällt.
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.
ein primideal liegt vor, wenn 2 elemente, die im ring liegen multipliziert im ideal liegen, wenn daraus folgt, dass mindestens eines der beiden elemente auch im ideal liegen.

die definition ist sehr ähnlich zur definition der irreduzibilität, das ist es ja, dass ein element, das als produkt zweier anderer dargestellt werden kann, dass der schnitt der beiden elemente mit der einheitengruppe nicht leer ist.

in einem hauptidealring sind die beiden aussagen doch sogar äquivalent.

geht das dann in die richtung, dass alle irreduziblen polynome genau die primideale sind?


zu 2.
wenn ein ideal eine einheit enthält, heißt es, dass es invertierbar ist.
daraus folgt doch dann, dass er gesamte ring darstellbar ist mit hilfe dieses ideals.

zu 4.
hmm das sagt mir gerade leider nichts... also ich weiß z.b., dass bei hauptidealringen R/I auch hir ist, wenn R hir ist, aber das hilft ja in diesem beispiel nichts.


okay, falls ich 1. und 2. jetzt so beantwortet hast, die du wolltest, bzw. wie es richtig ist, dann weiß ich schonmal:
1. die primideale sehen so aus: es sind die irred. polynome

2. wenn ein körper vorliegt, dann gibt es ein inverses, heißt mit den idealen ist dann der ganze ring darstellbar? da gibt es doch den satz dann, dass es ein körper ist genau dann, wenn es nur die ideale {0} und ganz R gibt?! stimmt, das könnte man ja dann für 2. und 3. sagen, dass die Ideale genau so aussehen, ja?!

dann fehlt ja vielleicht nur noch 4.
kannst du mir noch sagen, wie das geht?

vielen 1000-dank nochmal
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Eines vorweg: Aussagen der Art
Zitat:
dass alle irreduziblen polynome genau die primideale sind

ist zwar vollkommen richtig gemeint, können aber in mündlichen Prüfungen einen negativen Eindruck beim Prüfer hinterlassen. Warum? Weil du Äpfel mit Apfellastern vergleichst. Primideale sind Mengen von Elemente, ein polynom ist ein einzelnes Polynom ein Polynomrings.
Was du meinst ist: Die von den irred. Polynomen erzeugten Ideale sind genau die Primideale. Das ist vollkommen richtig.
Auch das
Zitat:
wenn ein ideal eine einheit enthält, heißt es, dass es invertierbar ist.
ist sehr ungut formuliert. Was du meinst ist: dann ist es bereits der Ring. Wann ein Ideal invertierbar ist habt ihr mit ziemlicher Sicherheit in der vorlesung nicht besprochen, das hat mit dem ganzen hier auch nicht viel zu tun.
Ansonsten wieder richtig: ein Körper hat nur die 2 trivialen ideale (0),(1) (für komm. Ringe ist das sogar äquivalent zu Körper)

zur 4: Es gibt die Aussage: die Ideale von R/I sind gerade die Ideale von R die in I enthalten sind. Ansonsten könnt man hier auch zeigen, dass alle ax+b für b nicht 0 invertierbar sind.
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dass du mich darauf aufmerksam machst, dass ich bei meinen formulierungen acht geben muss, danke.

zu 4.
da steige ich leider noch nicht ganz durch.
die aussage ist: alle ideale in Q[x], die in x^2 enthalten sind, sind die Ideale in Q[x]/<x^2>
okay, kannst du mir vielleicht ein beispiel nennen, welches ideal von Q[x] in x^2 enthalten ist. bei solchen dingen hab ich manchmal noch ein vorstellungsproblem leider.
meinst du im satz drauf, dass sobald b nicht 0 ist, ax+b ein ideal ist?
hm vielleicht kannst du den letzten punkt noch ein klein wenig ausführlicher erklären, dann hätten wir es ja geschafft smile

ich muss jetzt aber ins bett, ich versuch es dann morgen früh vollends nachzuvollziehen, danke danke danke
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Merke:
Und damit ergibt sich das einzige halbwegs interessante Ideal hier.

Zitat:
dass sobald b nicht 0 ist, ax+b ein ideal ist

Ideal und Invertierbar sind zwei grundverschiedene Sachen.
Ich meine: Ist b nicht 0 so existiert ein Polynom f mit
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen,

ich komme leider trotz hinweis nicht auf das gesuchte interessante ideal, steh bei dieser letzten teilaufgabe wohl auf dem schlauch ein wenig.

wie man hier ausnutzen kann, dass für b undgleich 0, kann ich auch nicht sehen.

kannst du mir vielleicht erklären, was das ideal ist, und wie ich es genau sehen kann?
grüße
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte das Ideal (X).
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich versuch es nochmals:

die ideale des quotientenrings, sind die ideale des hauptidealrings, die den quotienten enthalten, also suche ich nach allen teilern von X^2 in dem fall.
x^2 kann ich zerlegen in x*x

die ideale werden dann von tielern von x^2 erzeugt, also sind die ideale 1,x,x^2
kann man das so sagen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf die Formulierung, ja.
Die Ideale sind (1),(X),(0) (letzteres da ) .

Beachte wieder denn Unterschied: Ereuger eines Ideals und dem Ideal selbst.
linchen9 Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke smile
ganz ganz ganz großes dankeschön an dich. du hast mir echt weitergeholfen.
schönen tag noch
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