f irreduzibel in K[z][x], dann auch automatisch in K[x][z] ?

20.03.2012, 09:31

latingirl

f irreduzibel in K[z][x], dann auch automatisch in K[x][z] ?

Meine Frage:
Und nochmal eine kurze Frage:

Wenn f irreduzibel in K[z][x] ist, ist f dann auch automatisch in K[x][z] irreduzibel?

Meine Ideen:
Gefühlsmäßig würde ich sagen, nein.
Aber K[z,x] = K[x,z] gilt ja und somit ...

DANKE!

21.03.2012, 16:28

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Wenn f irreduzibel in K[z][x] ist, ist f dann auch automatisch in K[x][z] irreduzibel?

Nein, das folgt nicht. Überlege dir ein Beispiel, wo $\begin{eqnarray*} f(x,z) = g(z)\in K[z] \end{eqnarray*}$ . Hier wären übrigens Klammern sehr angemessen, um hervorzuheben, von welchen Ringen du genau sprichst: Du meinst (so meine Interpretation)
$\begin{eqnarray*} K[z][x] := \left(K[z]\right)[x] \end{eqnarray*}$

Also der Polynomring über dem Ring K[z].

21.03.2012, 17:22

latingirl

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Schade...

Kann ich nicht mit dem Ring-Isomorphismus $\begin{eqnarray*} (K[z])[x] \cong (K[x])[z] \end{eqnarray*}$ , der explizit durch $\begin{eqnarray*} \sum_i (\sum_j a_{ij} z^j) x^i \mapsto \sum_j (\sum_i a_{ij} x^i) z^j \end{eqnarray*}$ gegeben ist, arbeiten?
Dieser würde mir ja die Irred.eigenschaft erhalten...

lg

21.03.2012, 19:18

gonnabphd

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Ah, ich glaube ich hab mich vertan... Jedenfalls, wenn du mit irreduzibel meinst, dass alle Teiler von f Einheiten sind. Dann stimmt das nämlich tatsächlich, wie dein Isomorphismus z.B. zeigt.

Wenn du mit f irreduzibel meinst, dass alle Teiler von f Grad 0 haben, dann wäre es in der Tat nicht so, dass f irreduzibel im einen impliziert irreduzibel im andern (aber ich denke, diese letzere Art von ["im wesentlichen"] irreduzibel könnte ich mir selbst eingebildet haben - finden kann ich sie nämlich nirgens als Definition...).

21.03.2012, 19:24

galoisseinbruder

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Kurze Einmischung:
Das Problem mit dem Iso (ich nenne ihn mal $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ) ist, dass im Allgemeinen $\begin{eqnarray*} \varphi (f) \neq f \end{eqnarray*}$ und dieser damit für die Ursprungsfrage ziemlich nutzlos ist.
Es ist z.B. $\begin{eqnarray*} \varphi (X^3+XZ) = Z^3 +XZ \end{eqnarray*}$

21.03.2012, 20:27

latingirl

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Also stimmt meine Aussage doch nicht?

21.03.2012, 20:35

gonnabphd

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@galois:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_i (\sum_j a_{ij} z^j) x^i \mapsto \sum_j (\sum_i a_{ij} x^i) z^j \end{eqnarray*}$

Ich glaube, du hast dich verlesen. verwirrt

latingirl vertauscht X doch gar nicht mit Z?
Also es wird einfach f auf f abgebildet und halt so geklammert, dass man sieht, dass es auch ein Element von (K[x])[z] ist.

21.03.2012, 20:37

galoisseinbruder

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Oh ja da habe ich mich verlesen, damit ist meine Einmischung vollkommen hinfällig.

21.03.2012, 20:53

gonnabphd

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Ok.

@latingirl: Dann sollte alles klar sein:

f(X,Z) ist irreduzibel in K[X][Z] genau dann, wenn es in K[Z][X] irreduzibel ist.

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f irreduzibel in K[z][x], dann auch automatisch in K[x][z] ?

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