in D_8 ist nicht jede Untergruppe normal sonst D_8 isom. zu C_4xC_2 |
| 21.03.2012, 11:07 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| in D_8 ist nicht jede Untergruppe normal sonst D_8 isom. zu C_4xC_2 Hallo zusammen! Im Titel steht eigtl. schon alles, was meine Frage betrifft: Die Behauptung ist, dass in D_8 (Symm.gruppe des Quadrats) nicht jede Untergruppe normal ist. Meine Ideen: Als Begründung steht dabei: sonst D_8 isomorph zu C_4 x C_2 Das "Problem" dieser Isomorphie verstehe ich (D_8 ist ja nicht abelsch), aber wie komme ich auf diese Isomorphie? Danke für eure Antworten! |
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| 21.03.2012, 11:46 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: in D_8 ist nicht jede Untergruppe normal sonst D_8 isom. zu C_4xC_2 hallo latingirl, habe wieder ein bischen geforscht, die diedergruppe ist ja immer die gruppe der drehspiegelungen, und man kann sich die zyklischen gruppen C_n auch als gruppe der drehungen vorstellen(wobei dann der drehwinkel jeweils 360 grad durch n ist), so entspricht eine drehspiegelung also immer einer möglichen drehung (4 möglichkeiten) gepaart mit einer möglichen spiegelung(2 möglichkeiten), also C_4 x C_2. 
gruss ollie3 |
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| 21.03.2012, 11:58 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Super, danke ollie3, dieser Blick auf C_n ist mir bisher noch nicht untergekommen. Man lernt immer dazu! Aber eins noch: Wenn ich dich richtig verstehe (Drehspiegelungen entsprechen immer ...), dann wäre ja D_8 doch abelsch, da C_4 x C_2 abelsch ist, oder? Jetzt dreht sich's grad im Kreis 
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| 21.03.2012, 12:04 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Diedergruppen sind semi-direkte Produkte: . Ein (inneres) semi-direktes Produkt ist ein direktes Produkt wenn nicht nur N sondern auch H Normalteiler ist. Und das von ollie3
ist natürlich falsch. |
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| 21.03.2012, 12:06 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diesen Satz über semidirekte Produkte kenne ich auch... Ist ollie3 ' s Antwort dann komplett falsch oder nur der Schluss C_4xC_2 ? Wenn ja, was ist dann die Erklärung für mein Problem? |
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| 21.03.2012, 12:13 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Rest von ollie3´s Post ist vage genug um nicht falsch zu sein. Der Schluß ist natürlich falsch, das hast du doch bereits in deinem Eröffnungspost geschrieben. Und die Antwort auf deine Frage habe ich dir doch grade gegeben
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| 21.03.2012, 13:06 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach jetzt verstehe ich: Da {1} x C_2 ein Normalteiler des semidir. Produkts ist da abelsch, ist das semidirekte Produkt direkt. (C_4 x {1} ist aus dem selben Grund ebenfalls NT des semidir. Produkts - was aber für den Schritt hier nicht entscheidend ist.) Stimmt doch so? |
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| 21.03.2012, 13:15 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Warum betrachtest du auch das direkte Produkt anstatt das semi-direkte? Du verwendest auch nicht die Voraussetzung:
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| 21.03.2012, 13:28 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Laut meinem Skript muss ich bei den NT ein direktes Produkt setzen. |
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| 21.03.2012, 13:34 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beim Schreiben von {1} x C_2 weißt du doch noch gar nicht das es ein NT ist? Oder warum erwähnst du es explizit? Außerdem: Wozu musst du dann noch folgern dass das das Produkt direkt ist? |
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| 21.03.2012, 13:41 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach naja, vielleicht komm' ich ja in ein paar Tagen drauf, was du mir sagen willst... Trotzdem Danke, dass du mir helfen wolltest! Vielleicht noch ein letzter Versuch: {1}xC_2 und C_4x{1} sind ja Untergruppen von D_8, oder nicht (ich weiß, da steht wieder ein dir. Produkt)? Wenn ja, dann würden auch sie - wenn alle UGr. normal sind - normal sein, und somit ein dir. Produkt vorliegen... lg latingirl |
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| 21.03.2012, 13:58 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sind sie nicht. Sie sind isomorph zu Untergruppen der D8. (sprich: Es gibt zyklische Untergruppen der Ordnung 4 und 2) Wenn du so was schreibst nimmst du an das ein direktes Produkt bereits vorliegt. Daraus zu folgern ein direktes Produkt vorliegt ist eine Tautologie. Es ist Annahme: Es sei jede Untergruppe normal. Wende jetzt
an und du erhälst den Widerspruch
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| 21.03.2012, 14:03 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Geht doch 
Aber ich glaube, dass bei uns zwei verschiedene Versionen des Satzes vorliegen, da du nur von N und H schreibst, bei mir steht aber stets {1}xH und Nx{1}. Die Isomorphie von Untergruppen des D_8 zu {1}xC_2 und C_4x{1} seh ich aber für den "Beweis" schon als wichtig an... 
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| 16.04.2012, 16:11 | soase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die schöne Erklärung, galoisseinbruder. Lass dich nicht von so selbstgefälligen Kommentaren wie geht doch entmutigen. |
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