Ebene Untervektorraum?

22.03.2012, 00:12

MarOl1992

Ebene Untervektorraum?

Meine Frage:
Gegeben: P1 = (-1|0|0), P2 = (0|-2|0), P3 = (0|0|-3)

Frage: Ist E1 (bestehend aus den drei Punkten) ein Untervektorraum des R³?

Meine Ideen:
Ebene aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} E_{1}: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir zwar klargemacht, das man drei Schritte überprüfen muss, um auf einen UVR zu prüfen:

- Vektorraum leer? (+ Nullvektor enthalten?)
- $\begin{eqnarray*} u \in U \wedge v \in U \Rightarrow u+v \in U? \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \wedge u\in U \Rightarrow \alpha *u \in U? \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Prüfe Nullvektor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = 0 * \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + 0 * \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 3\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe also für s und t Null eingesetzt und komme zu nem Widerspruch, ist das soweit richtig, oder hab ich was falsch gemacht?

Danke an alle Helfer!

22.03.2012, 00:43

frank09

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RE: Ebene Untervektorraum?
Soweit richtig.

22.03.2012, 00:48

Helferlein

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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du das Prinzip wirklich richtig verstanden hast.
Die entscheidende Frage ist, wieso Du r=s=0 gewählt hast. Es wäre streng genommen erst zu zeigen, dass sich mit anderen Kombinationen der Nullvektor sicher nicht erzeugen lässt, was hier aber aufgrund der Koordinaten der beiden Richtungsvektoren leicht zu begründen ist.

22.03.2012, 00:50

MarOl1992

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Zitat:

Original von Helferlein Es wäre streng genommen erst zu zeigen, dass sich mit anderen Kombinationen der Nullvektor sicher nicht erzeugen lässt, was hier aber aufgrund der Koordinaten der beiden Richtungsvektoren leicht zu begründen ist.

Liegt daran, dass die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind oder?

22.03.2012, 01:33

Helferlein

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Die Lineare Unabhängigkeit sichert nur die Eindeutigkeit der Darstellung. Du willst hier den Nullvektor aber aus eine Kombination von Stütz- und Richtungsvektoren erzeugen.

Wenn Du Dir in deiner Gleichung die y- und z-Koordinate anschaust, dann siehst Du, weshalb nur r=s=0 sinnvoll ist.
Das muss aber nicht immer die geeignete Kombination sein.

Bsp: $\begin{eqnarray*} E:x=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier lässt sich der Nullvektor nur durch r=1 und s=0 erzeugen.

22.03.2012, 14:40

MarOl1992

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RE: Ebene Untervektorraum?

Zitat:

Original von MarOl1992
$\begin{eqnarray*} ... \Rightarrow \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe also für s und t Null eingesetzt und komme zu nem Widerspruch, ist das soweit richtig, oder hab ich was falsch gemacht?

Danke an alle Helfer!

Also ist das doch quatsch? Ich muss also gucken ob es möglich ist, aus der gegebenen Ebenengleichung den Nullvektor zu erzeugen?

Also nach dem Schema:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Kurz: LGS lösen und wenn eindeutige Werte für s und t vorhanden sind, ist der Nullvektor enthalten?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1& -1\\ 2& 0\\ 0& 3\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} s\\ t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} I: -s -t = 1<br /> II: 3t = 0 \Rightarrow t = 0<br /> III: 0 \neq 2 \end{eqnarray*}$

Und durch den Widerspruch sehe ich, dass der Nullvektor nicht enthalten ist?

Nun richtig, oder was ist falsch?

LG Wink

22.03.2012, 14:56

Helferlein

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Naja, inhaltlich ist das wohl richtig, aber formell sieht das wieder etwas komisch aus.
Deine Gleichung II ist doch die dritte Zeile und wo hast Du die Gleichung III her?

22.03.2012, 14:59

MarOl1992

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Ich habe vorher Zeile II und III getauscht bevor ich Gauß angewandt habe, damit ich mir einen Schritt sparen kann. Gleichung III stand dann anschließend dort (0s + 0t = 2).

Wie würde ich es denn am besten aufschreiben?

22.03.2012, 15:08

Helferlein

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Warum nimmst Du nicht einfach Gleichung II und III? Sie liefern doch direkt die potentielle Lösung s=t=0. Wenn Du das dann in I einsetzt, bekommst Du den Widerspruch 0=1

22.03.2012, 15:15

MarOl1992

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Oh stimmt, so würde das ganze viel einfacher funktionieren. Da hab ich wohl den sprichtwörtlichen Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen!

Und das würde nun reichen, um zu zeigen, dass E1 kein UVR des R³ ist?

22.03.2012, 15:19

Helferlein

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Ja, weil jeder UVR den Nullvektor enthalten muss und diese affine Ebene tut das halt nicht.

22.03.2012, 15:31

MarOl1992

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Sehr gut, danke dir für deine immer schnelle Hilfe! Freude

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