monotonie

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Katharinaaaa Auf diesen Beitrag antworten »
monotonie
warum werden sattelpunkte deren 1. Steigung auch null beträgt, bei der Monotonie nicht berücksichtigt? weil überall steht, dass es dann trotzdem streng monoton steigend oder fallend ist, obwohl ja für streng gilt, dass es größer null sein muss

danke im voraus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monotonie
Du scheinst das mit der strengen Monotonie noch nicht ganz verinnerlicht zu haben. Eine Funktion heißt streng monoton steigend, wenn gilt, dass aus x>y folgt, dass f(x)>f(y) ist.

Jetzt betrachten wir einmal die Standardfunktion mit einem Sattelpunkt an der Nullstelle, nämlich die Funktion f(x)=x³ und wir nehmen ein x und ein y für die wir die Forderung stellen, dass x>y ist, dann ist sicherlich f(x)>f(y).

analog nennen wir eine Funktion streng monoton fallend, wenn aus x>y folgt, dass f(x)<f(y)

Das hat mit dem Sattelpunkt erst mal überhaupt nichts zu tun.

Man kann allerdings die Ableitung betrachten, um zu sehen, ob eine Funktion monoton ist, nämlich dann, wenn für alle x gilt f'(x)>/=0 (monoton steigend) oder f'(x)</=0 (monoton fallend).

Aber über strenge Monotonie sagt das erst mal nichts aus. Die Funktion f(x)=x² ist auf einem beliebigen Intervall [0,a) auch streng monoton wachsend, obwohl sie im Nullpunkt eine waagerechte Tangente besitzt und die Stelle x=0 im Definitionsbereich liegt.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monotonie
Strenge Monotonie ist ursprünglich nicht über die erste Ableitung definiert, die eigendliche Definition lautet:

Wie du leicht nachrechnen kannst ist dies auch bei Sattelpunkten erfüllt.

Die Ableitung darf an einzelnen Punkten also durchaus den Wert 0 annehmen, sie muss nur für alle anderen Werte echt positiv sein..
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