Transformationsmatrix

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Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix
Gegeben sei mit den Basen
und
Bestimme die Tansformationsmatrix .

Mein Ansatz ist der folgende.



D.h. ich stelle drei LGS auf und löse sie einzeln.

I.


Meine erste Lösung ist,

In den Lösungen steht allerdings etwas anderes für die erste Spalte. Wo habe ich denn etwas falsch gemacht? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Einfacher Ansatz für das Bild des ersten Basisvektor der ersten Basis in der zweiten Basis 3x²+2x+1=a(x²+1)+b(x²-1)+2cx=(a+b)x²+2cx+(a-b) liefert a=2, b=1, c=1 als ersten Spaltenvektor.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, ich sehe gerade es muss heißen also auch,



Der errechnete Spaltenvektor von dir stimmt auch mit der Lösung überein. Ist also die Lösung von einer falschen Transformation ausgegangen? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schreibweise für die Transformationsmatrix ist lediglich eine Konvention. Je nachdem man die eine Basis (B2) oben und die andere Basis (B1) unten hinschreibt, und je nachdem welche Basis (B1) auf welchen Raum span(B2) mit Basis (B2) abgebildet wird, erhält man die Transformationsmatrix für B1-->span(B2) oder ihre Inverse, die Transformationsmatrix für B2-->span(B1). Ich schreibe immer auf, was ich wohin abbilde und in welcher Basis darstelle, dann ist das Ergebnis (modulo Rechenfehler) zweifelsfrei richtig.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Und was heißt das nun konkret für die Aufgabe?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weil meine Lösung mit der vorgegebenen Lösung übereinstimmt, ist mein Ansatz genau richtig. smile
 
 
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich meine das macht doch einen Unterschied ob ich oder betrachte? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie gesagt ist . Wenn also mein erster Spaltenvektor stimmt, bin ich auf dem richtigen Weg.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Was habe ich denn bei meiner ersten Matrix falsch gemacht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gar nichts falsch, alles richtig. Du stellst die Basis B2 in span(B1) dar. Der Aufgabensteller und ich stellen die Basis B1 in span(B2) dar. Die zugehörigen Transformationsmatrizen sind zueinander invers.
Wenn du genug Zeit hast, berechne beide Transformationsmatrizen (d.h. löse 6 lineare Gleichungssysteme), das Produkt wird die Einheitsmatrix sein.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal weiter gemacht und habe nun als Transformationsmatrix erhalten:



In meinen Lösungen steht nun,



Du meintest ja bereits Elvis, dass mein Ergebnis auch richtig sei? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Theoretisch und praktisch, im allgemeinen und im besonderen, alles prima richtig. Das Produkt der beiden Matrizen ist die Einheitsmatrix, also sind die beiden Matrizen zueinander invers. Warum das so sein muss, habe ich bereits ausführlich erläutert. Wink
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