Extremwertproblem

24.03.2012, 12:12

MoA

Extremwertproblem

Meine Frage:
Minimiere den Umfang eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt 60.

Meine Ideen:
U(a,b)=2(a+b)
a*b=60 =>b=60/a
U(a)=2*(a+60/a)

Normalerweise muss man die Funktion U(A) doch in die Scheitelpunktform bringen, um den Wert abzulesen, aber wie macht man das hier?

24.03.2012, 12:19

yoshee

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RE: Extremwertproblem
Hallo,
In Scheitelpunktsform kann man die Funktion bringen, wenn es eine quadratische Funktion ist(eine Parabel).
Was bei deiner Funktion vorallem stört ist das 'a' im Nenner.
Kennst du Ableitungen?

24.03.2012, 12:20

Che Netzer

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RE: Extremwertproblem
Du leitest U ab und suchst die Nullstellen der Ableitung. Mit der zweiten Ableitung kannst du dann zwischen Minima und Maxima unterscheiden.

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 13:19

MoA

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Bin erst in der 9. und ham sowas wie Ableitungen noch nicht gemacht.
Wisst ihr vieleicht nen anderen Ansatz, mit dem man die Aufgabe lösen kann?

24.03.2012, 13:57

yoshee

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Also ich hab ehrlich gesagt keien Idee, wie das ohne Ableitung geht.
Umgekehrt, bei gegeben Umfang und zu minimierender Fläche kann man das mit der Scheitelpunktsform machen.
Bei dieser Aufgabe (Rechteck) kannst du allerdings versuchen, dir geometrisch klar zu machen, wann der Umfang minimal wird.

24.03.2012, 14:31

Huggy

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Zitat:

Original von yoshee
.Umgekehrt, bei gegeben Umfang und zu minimierender Fläche kann man das mit der Scheitelpunktsform machen.

Das soll wohl zu maximierender Fläche heißen. Und durch eine kleine Zusatzüberlegung kann man zeigen, dass derselbe Typ von Rechteck, der die Fläche bei gegebenem Umfang maximiert, den Umfang bei bei gegebener Fläche minimiert.

24.03.2012, 14:55

MoA

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Zitat:

Original von Huggy:
Das soll wohl zu maximierender Fläche heißen. Und durch eine kleine Zusatzüberlegung kann man zeigen, dass derselbe Typ von Rechteck, der die Fläche bei gegebenem Umfang maximiert, den Umfang bei bei gegebener Fläche minimiert.

Und wie genau lautet dann die Gleichung mit der ich den minimalen Umfang berechnen kann?

24.03.2012, 15:11

Huggy

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Hast du denn die Umkehraufgabe, Fläche eines Rechtecks bei gegebenem Umfang maximieren, gelöst?
Aus deren Lösung ergibt sich die Formel!

24.03.2012, 15:57

MoA

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Lande irgendwie dabei wieder am Anfang:

A(a,b)=a*b
a=(U(b)-2b)/2
A(b)=(U(b)-2b)/2*b

Wenn ich dann für A(b)=60 einsetze erhalte ich:
60=(U(b)/2-b)*b
U(b)=2*(60/b+b)

24.03.2012, 18:15

SusiQuad

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Wie kommt man ohne Diff.Rechnung aus ? - Vorschlag ...

Man nehme $\begin{eqnarray*} \tan \phi = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$
und erhalte $\begin{eqnarray*} U = 2 \sqrt{60}~\left( \tan \phi + \frac{1}{\tan \phi} \right) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \tan = \frac{\sin}{\cos} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)\cos(\phi) = \tfrac{1}{2}\sin(2\phi) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} U= 2 \sqrt{60}~\frac{2}{\sin(2\phi)} \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} U_{\text{min}}= 4 \sqrt{60} \end{eqnarray*}$ klar ist
und zwar für $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten muss irgendwie anders her, daß $\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ihr Minimum $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ annimmt, wenn die Summanden gleich sind.

_____________

Bei nochmaligem Durchlesen kam mir die Idee, daß das Leben in Klasse 9 hart sein kann. - Was nimmt man also geometrisch mit ?

$\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ ergibt, daß $\begin{eqnarray*} a~=~b \end{eqnarray*}$ , also das optimale Rechteck ein Quadrat ist. - Es ist also nicht ein spezielles Ergebnis $\begin{eqnarray*} U_{\text{min}} \end{eqnarray*}$ , was interessant ist, sondern die Verhältnisse der Beteiligten, hier $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

24.03.2012, 18:46

Huggy

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Zitat:

Original von MoA
A(a,b)=a*b
a=(U(b)-2b)/2
A(b)=(U(b)-2b)/2*b

Hier musst du in allgemeiner Form weitermachen, also ohne konkrete Zahlen. A(b) ist doch eine Parabelgleichung mit b als der Variablen. Die bringst du in die Scheitelpunktsform und findest dadurch heraus, wo sie ihr Maximum hat. Es wird sich ergeben, dass

$\begin{eqnarray*} a = b =\frac{U}{4} \end{eqnarray*}$

sein muss. Die maximale Fläche ergibt sich also, wenn das Rechteck ein Quadrat ist. Und dann zeigst du durch eine Zusatzüberlegung, dass daraus folgt, dass bei gegebener Fläche der Umfang bei einem Quadrat am geringsten ist.

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