Topologien finden/ Homöomorphietypen

24.03.2012, 13:28

Gast11022013

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Topologien finden/ Homöomorphietypen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$ eine 3-elementige Menge. Man gebe sämtliche Topologien auf dieser Menge an. Man klassifiziere nach Homöomorphie. Wie viele Homöomorphietypen gibt es?

Meine Ideen:
Moin, moin.

Erstmal schreibe ich die Topologien auf, die ich gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{ind}=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{dis}=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{a\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{b\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_3=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{c\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_4=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_5=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{a\right\},\left\{c\right\},\left\{a,c\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_6=\left\{\left\{a,b,c\right\},\emptyset,\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{b,c\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

Was ist nun mit den Homöomorphietypen gemeint?

Ich weiß, daß man eine bijektive Abbildung zwischen topologischen Räumen, die stetig ist und deren Umkehrabbildung stetig ist, Homöomorphismus nennt.

Dann kommen für Homöomorphismen doch eigentlich nur einerseits $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_3 \end{eqnarray*}$ in Frage (jeweils 3 Elemente) und andererseits $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_4 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_6 \end{eqnarray*}$ (jeweils 5 Elemente), denn wie soll man sonst bijektive Abbildungen definieren.

24.03.2012, 15:52

weisbrot

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RE: Topologien finden/ Homöomorphietypen
was mit homöomorphietypen genau gemeint ist weiß ich zwar auch nicht, aber es gibt auf jeden fall noch viele weitere topologien auf {a,b,c}, z.b.: {{a,b,c},{},{a,b}}. lg

24.03.2012, 16:19

pseudo-nym

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Homöomorphie ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der topologischen Räume.
Die Homöomorphietypen sind die Äquivalenzklassen bzgl. dieser Relation.

Zitat:

Dann kommen für Homöomorphismen doch eigentlich nur einerseits $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_3 \end{eqnarray*}$ in Frage (jeweils 3 Elemente) und andererseits $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_4 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_6 \end{eqnarray*}$ (jeweils 5 Elemente), denn wie soll man sonst bijektive Abbildungen definieren.

Hier glaube ich benutzt du, dass jeder Homöomorphismus eine Bijektion auf den Topologien induziert. Ist dir klar warum?

24.03.2012, 16:30

Gast11022013

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Zitat:

Original von pseudo-nym

Hier glaube ich benutzt du, dass jeder Homöomorphismus eine Bijektion auf den Topologien induziert. Ist dir klar warum?

Wegen der Stetigkeit der Abbildung (und der Umkehrabbildung), was ja bedeutet, daß einerseits das Urbild jeder offenen Menge offen ist und andereseits, daß die Abbildung offen ist.

24.03.2012, 17:02

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Dennis2010
[...]was ja bedeutet, daß einerseits das Urbild jeder offenen Menge offen ist und andereseits, daß die Abbildung offen ist.

Das reicht nicht um die Behauptung zu zeigen.
Betrachte zwei diskrete Räume $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T_X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Y, \mathcal T_Y) \end{eqnarray*}$ , X endlich und Y unendlich ist. Desweiteren sei $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ .
f ist stetig und offen, trotzdem sind $\begin{eqnarray*} T_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_Y \end{eqnarray*}$ nicht gleichmächtig.

24.03.2012, 17:07

Gast11022013

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Hat es was mit dem Stichwort "Einbettung" zu tun?

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24.03.2012, 17:54

pseudo-nym

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Das weiß ich nicht. Mit Stichworten kenne ich mich nicht aus.

Du solltest dir am besten mal einen Plan zurechtlegen, wie du die Aufgabe lösen willst.
Wenn du deinen Weg weiterverfolgen willst, musst du dich hinsetzen und beweisen, dass die Topologien homöomorpher Räume gleichmächtig sind.
Alternativ kannst du dir zwei Räume nehmen und sie beispielhaft auf Homöomorphie prüfen.

24.03.2012, 17:58

Gast11022013

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Zitat:

Original von pseudo-nym
[...] beweisen, dass die Topologien homöomorpher Räume gleichmächtig sind.

Da bräuchte ich einen Tipp, wie man diesen Beweis anfangen könnte.

Ich möchte das nämlich gerne versuchen, hinzukriegen.

24.03.2012, 18:18

pseudo-nym

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Gut, als erstes solltest du die Definition von "gleichmächtig" nachschlagen. Dann wird hoffentlich klarer was du suchst.

24.03.2012, 18:23

Gast11022013

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Also wenn ich zeigen will, daß die Topologien homöomorpher topologischer Räume gleichmächtig sind, muss ich eine Bijektion zwischen den Topologien finden.

24.03.2012, 18:41

pseudo-nym

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Du suchst also nach einem Objekt mit bestimmten Eigenschaften.

Da in den Annahmen nirgendwo direkt von einer Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} \mathcal T_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal T_Y \end{eqnarray*}$ die Rede ist, kannst du versuchen nach ähnlichen Objekten zu suchen.

Z.B. könntest du dich fragen, ob mit Hilfe der Annahmen irgendeine Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathcal T_X \to \mathcal T_Y \end{eqnarray*}$ bauen kannst.

24.03.2012, 18:48

Gast11022013

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Welche Annahmen?

Die Aufgabe beinhaltet ja gar keine. verwirrt

verwirrt

24.03.2012, 18:57

pseudo-nym

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Wenn $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T_X), (Y, \mathcal T_Y) \end{eqnarray*}$ topologische Räume sind, willst du doch zeigen:
$\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T_X) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (Y, \mathcal T_Y) \end{eqnarray*}$ sind homöomorph $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vert \mathcal P(X) \vert = \vert \mathcal P(Y) \vert \end{eqnarray*}$

Vor dem Implikationspfeil stehen die Annahmen, dahinter die Schlussfolgerungen.

24.03.2012, 19:00

Gast11022013

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Man könnte vielleicht den Homöomorphismus, den es zwischen den topologischen Räumen gibt, einschränken auf die Topologie.

24.03.2012, 19:05

pseudo-nym

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Ich ahne was du meinst, aber du kannst den Homöomorphismus $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ nur auf Teilmengen von X einschränken.
$\begin{eqnarray*} \mathcal T_X \end{eqnarray*}$ ist aber keine Teilmenge von X.

24.03.2012, 19:10

Gast11022013

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Schade, das wäre so schön gewesen...

Big Laugh

Big Laugh

Da gehen mir auch schon die Ideen aus.

Aber irgendwas von dem Homöomorphismus muss man ja verwenden...

Kann man den Bildbereich einschränken?

24.03.2012, 19:17

Gast11022013

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Ich habe da nochmal eine andere Frage.

Könnte man jetzt auch einfach hergehen und sagen:

Ein Homöomorphietyp ist z.B.

Ein offener Punkt, ganze Menge, leere Menge

Somit gehören zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ zum gleichen Homöomorphietyp.

Und jetzt müsste man einen Homöomorphismus konstruieren.

Könnte man jetzt einfach einen Homöomorphismus festlegen, zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} X\mapsto X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \emptyset\mapsto\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\mapsto b \end{eqnarray*}$

?

Das müsste doch ein Homöomorphismus sein...

24.03.2012, 19:21

pseudo-nym

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Das Einschränken des von Definitions und Wertebereich ist eine Möglichkeit aus einer Abbildung eine andere zu machen.
Es gibt aber noch weitere.

Wie auch vorher kannst du wenn du nicht fündig wirst deinen Suchradius vergrößern und nach Abbildungen zwischen $\begin{eqnarray*} \mathcal P (X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal P (Y) \end{eqnarray*}$ Auschau halten, welche von f induziert werden.

24.03.2012, 19:55

Gast11022013

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Ich komme da nicht weiter... verwirrt

verwirrt

25.03.2012, 17:53

Gast11022013

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Ich lese gerade zufällig, daß ein Homöomorphismus

$\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} O\mapsto f(O) \end{eqnarray*}$ eine Bijektion $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$

induziert.

25.03.2012, 18:07

pseudo-nym

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Generell induziert jedes f vermöge $\begin{eqnarray*} A \mapsto f(A) \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wo du eine Abbildung gefunden hast, kannst du ja damit fortfahren zu zeigen, dass sie tatsächlich die Abbildung ist, die du suchst.

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