Eigenvektor Problem

26.03.2012, 00:47

Dorfal

Eigenvektor Problem

Meine Frage:
Ich wollte folgendes Beispiel lösen:
http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Matrizen/eigenwerte.pdf auf der Seite 4!

Bei den 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten die 0 gesetzt werden, stehe ich allerdings an... Versuche ich es mit den Gaußschen Elimantionsverfahren normal, indem ich die Zeilen umforme und subtrahiere, etc. bekomme ich IMMER 0 = 0 raus und kann nicht auf x1, x2 und x3 schließen.

Versuche ich es mit untern Dreiecksform (alle 0 setzen) bekomme ich in der letzten Zeile nur 0er was so viel bedeutet wie unendlich viele Lösungen, wenn ich es richtig verstanden habe...

Wo ist mein Denkfehler, ich sitze jetzt an diesem einfachen Beispiel bereits 4 Stunden -.-

Meine Ideen:
Ideen und Ansätze wurden erläutert

26.03.2012, 01:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektor Problem

Zitat:

Original von Dorfal
Versuche ich es mit untern Dreiecksform (alle 0 setzen) bekomme ich in der letzten Zeile nur 0er was so viel bedeutet wie unendlich viele Lösungen, wenn ich es richtig verstanden habe...

Ist auch richtig so, Eigenvektoren sind nie eindeutig bestimmbar.
Ansonsten wäre $\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda I) \end{eqnarray*}$ auch nicht 0.
Die andere Veranschaulichung: $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$ sei gegeben. Dann ist $\begin{eqnarray*} A(\mu v)=\mu Av=\mu\lambda v=\lambda(\mu v) \end{eqnarray*}$ , also ist µv auch ein Eigenvektor.

Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden also einen Vektorraum, der mindestens die Dimension 1 hat. Insofern ist es auch missverständlich, etwas wie "Der Eigenvektor zum Eigenwert 0" zu sagen.

Insofern vermute ich mal, dass deine Rechnung gar nicht falsch war (zumindest ist die Nullzeile richtig).

mfg,
Ché Netzer

26.03.2012, 01:15

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank für die rasche Antwort!
Aber ich verstehe nicht warum im pdf er x1 = 10, x2 = 3, x3 =-111 rausbekommt und damit den Eigenvektor für den Eigenwert Lambda 0 bestimmen kann unglücklich

26.03.2012, 08:46

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst den Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie das mit dem Gauß-Verfahren geht, wird als bekannt vorausgesetzt.

27.03.2012, 01:47

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -11 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-> x3 = 0
-> -11x2 -3x3 = 0 --> x2 = 0
--> 2x1 - 3x2 - 1x3 = 0 --> x1 = 0

irgendwas mache ich falsch -.-

27.03.2012, 08:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, daß du offensichtlich nicht gelernt hast, wie man aus einer Matrix, die sich in Zeilenstufenform befindet, den Kern bestimmt. Dazu brauchst du als erstes die frei wählbaren Variablen. Wie bestimmt man nun die frei wählbaren Variablen?

Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

In diesem Fall ist x3 die (einzige) frei wählbare Variable. Setze diese gleich einem Wert, der nicht Null ist. Meistens nimmt man 1, in diesem Fall die -11, um sich die Rechnerei mit Brüchen zu ersparen. (Die anderen in diesem Fall nicht vorhandenen frei wählbaren Variablen werden gleich Null gesetzt). Löse nun die Gleichungen auf.

27.03.2012, 09:55

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay super, jetzt is mir einiges klar...

a)

Wenn meine Matrix in Zeilenstufenform wie folgend aussehend würde:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -11 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

DANN wäre x3 = 0 und damit x2 und x1 auch 0, oder? :P

b)

Kannst du mir sagen wie ich das Ergebnis vom ursprünglichen Beispiel in Parameterform darstellen kann?

lg und danke

27.03.2012, 10:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dorfal
a)

Wenn meine Matrix in Zeilenstufenform wie folgend aussehend würde:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 \\ 0 & -11 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

DANN wäre x3 = 0 und damit x2 und x1 auch 0, oder? :P

Ja.

Zitat:

Original von Dorfal
b)

Kannst du mir sagen wie ich das Ergebnis vom ursprünglichen Beispiel in Parameterform darstellen kann?

Verstehe die Frage nicht. Du nimmst den Lösungsvektor und multiplizierst ihn mit einem Parameter.

27.03.2012, 16:45

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss z.B. für die morgige Prüfung ein lineares Gleichungssystem lösen können und die Lösung in Parameterform notieren -> Allerdings finde ich keine richtige Notation dafür o.O

27.03.2012, 16:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\2x_1\\3x_1+2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ löst das vorliegende Gleichungssystem.
Dann kannst du deine Lösungsmenge L darstellen als:
$\begin{eqnarray*} L=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}:\quad c\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

27.03.2012, 16:58

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm okay nehmen wir mal an ich habe folgende Lösung rausbekommen (von meiner Anfangsmatrix im ersten Post)

x2 = s
x5 = t

Ich nehme die Variablen s und t für meine "beliebigen" Werte.. weil ich in den 2 Zeilen nur 0er habe.

x1 = - 19/2 - 3/2 s + 3/2 t
x3 = -16 + 3t
x4 = -4 + t

Dann schaut meine Lösung in Parameterform wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} L = \left\{ \begin{pmatrix} -19/2 \\ 0 \\ -16 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} s + \begin{pmatrix} 3/2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} t \right\} \end{eqnarray*}$

Habe ich das richtig verstanden? :P

27.03.2012, 17:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Werte habe ich jetzt nicht überprüft (und war das nicht sowieso eine 3x3-Matrix?), aber wenn diese Gleichungen das Ergebnis sind, stimmt die Parameterdarstellung. Ich würde nur noch ein $\begin{eqnarray*} s,t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ dazutun.

27.03.2012, 17:04

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein es war eine 3x5 Matrix, also 3 Zeilen und 5 Unbekannte!
Wird schon so passen, hoffe ich :P Herzlichen Dank für eure Hilfe!

28.03.2012, 08:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dorfal
Nein es war eine 3x5 Matrix, also 3 Zeilen und 5 Unbekannte!

Ist schon merkwürdig, wie aus einem Eigenwertproblem im R³ eine 3x5 Matrix entsteht. verwirrt

28.03.2012, 11:18

Dorfal

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt war ich grad extrem verwirrt, aber sry hab mich verschrieben. Es handelt sich natürlich um eine 3x3 Matrix, meine Angabe war zu einem anderen Übungsbeispiel. Und meine Antwort bezieht sich auch aufs anderen Beispiel merk ich grad -.-

Neue Frage »

Antworten »

Eigenvektor Problem

Verwandte Themen