Ableitungsproblem bei Kettenregel

26.03.2012, 12:10

curey

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Ableitungsproblem bei Kettenregel

Also, da bin ich wieder. Dieses Mal hab ich ein Problem mit der Kettenregel. (Wenn man die nehmen muss...)

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{(3-x^{2})^{5} } \end{eqnarray*}$

Lösung(sbuch):
$\begin{eqnarray*} y'=-5x\sqrt{(3-x^{2}) ^{3} } \end{eqnarray*}$

Ich hab schon so einiges versucht. Ich weiß nur nicht, wie man richtig anfängt. Zum Beispiel hab ich mal die Kettenregel innerhalb der Wurzel angewendet:
$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{5(3-x^{2} )^{4}*(-2x) } \end{eqnarray*}$

Dann hab ich so viel verschiedenes versucht, aber ich komme niemals auf die richtige Lösung.

Hoffe auf eine schnellen Lösungsansatz,

lg

26.03.2012, 12:12

Iorek

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Tipp: schreibe die Wurzel als Potenz, dann reicht einmalige Anwendung der Kettenregel. So wie es aktuell da steht, müsste die Kettenregel zweimal angewendet werden.

26.03.2012, 12:13

Che Netzer

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RE: Ableitungsproblem bei Kettenregel
Da empfehle ich Potenzgesetze:
$\begin{eqnarray*} x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p} \end{eqnarray*}$
Damit dürfte es einfacher sein.

mfg,
Ché Netzer

26.03.2012, 12:38

curey

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Ja, aber das Problem ist, dass die Klammer ja schon hoch 5 ist. Wenn man die Kettenregel zB. zweimal anwendet, müsste das dann nicht die zweite Ableitung sein?

Also wie kann ich die Wurzel denn als Potenz nehmen? Ich hab mir das zB so gedacht: $\begin{eqnarray*} \left[(3-x^{2}) ^{5} \right] ^{2} \end{eqnarray*}$

->
$\begin{eqnarray*} y'=2*(3-x^{2}) ^{5} \end{eqnarray*}$

Nur hab ich ja jetzt schon eine Ableitung unglücklich

unglücklich

Wie soll ich denn da auf die 3. Potenz wie in der Lösung angegeben kommen?!

26.03.2012, 12:42

Iorek

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Nein, das wäre nicht die zweite Ableitung. Um die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{(3-x^2)^5} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, muss die Kettenregel mehrfach angewendet werden, weil hier insgesamt drei Funktionen verkettet sind.

Wenn du es dir umschreibst als $\begin{eqnarray*} f(x)=\left((3-x^2)^5\right)^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ , kannst du ein Potenzgesetz benutzen um die äußerste Klammer zu entfernen.

26.03.2012, 12:43

Che Netzer

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1. Nur, weil man in einer Ableitung zwei Regeln anwendet, hat man noch lange nicht die zweite Ableitung.
Beispiel:
f(x)=(sin(x))²
Erste Ableitung: 2*sin(x)*cos(x)
Da wurde die Kettenregel auch zweimal verwendet.

2. Zu der Darstellung: Wie in der Regel, die ich die aufgeschrieben habe.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^3}=x^{3/2} \end{eqnarray*}$
Die n-te Wurzel ist also "hoch 1/n".
Dann hast du einen Bruch im Exponenten und wendest ganz normal die Potenzregel (und Kettenregel) an.

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26.03.2012, 13:10

curey

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Woah ist das kompliziert :S

Naja ich krieg es jetzt schon fast raus... aber ganz stimmen tut es dennoch nicht.

$\begin{eqnarray*} y=((3-x^{2} )^{5} )^{1/2} \end{eqnarray*}$

Anwendung der Potenzregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *(3-x^{2} )^{5-1} \end{eqnarray*}$

Anwendung der Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *4(3-x^{2} )^{3} *(-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x(3-x^{2} )^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x*\sqrt{(3-x^{2} )^{3} } \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 13:13

Iorek

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Ich kann gerade nicht ganz nachvollziehen, was du gemacht hast.

Wir haben: $\begin{eqnarray*} f(x)=\left((3-x^2)^5\right)^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ , zunächst solltest du nun die Potenzgesetze verwenden, um die äußerste Klammer und die äußerste Potenz zu verarbeiten. Einfach so ein paar Teile ableiten ist nicht zielführend.

26.03.2012, 13:20

curey

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Uhm... habe ich doch am Anfang gemacht? Die Potenzregel angewendet?
Oder etwa so?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} ((3-x^{2} )^{5} )^{-1/2} \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 13:25

Iorek

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Wo kommt denn der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ her? Und wieso auf einmal ein Minuszeichen im Exponent? unglücklich

unglücklich

Nicht die Potenzregel fürs Ableiten, die Potenzgesetze für Potenzumformungen sollst du bemühen, um die äußerste Klammer und den äußersten Exponenten aufzulösen! Ganz konkret: wie lässt sich $\begin{eqnarray*} \left(a^b\right)^c=\dots \end{eqnarray*}$ noch schreiben?

26.03.2012, 13:29

curey

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Bah ist mir mir das peinlich unglücklich

unglücklich

Ich weiß nicht, wie man das anders schreibt. Oder steh ich jetzt auf der Leitung, ich versteh gar nix mehr unglücklich

unglücklich

26.03.2012, 13:30

Iorek

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Dann schlag doch mal in deiner Formelsammlung nach, auch Wikipedia könnte helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2012, 13:41

curey

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$\begin{eqnarray*} (a^r)^s = a^{r\cdot s} \end{eqnarray*}$

Soll das etwa heißen, ich soll 5 mit 1/2 multiplizieren? Damit die äußerste Klammer weg ist und ich eine Hochzahl von... 2,5 habe...?

26.03.2012, 13:50

Iorek

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Genau das heißt es (wobei ich es vielleicht eher als Bruch stehen lassen würde, das ist aber Geschmackssache). Jetzt kann die Kettenregel angewendet werden (wobei es dank der Umformung jetzt nur einmal notwendig ist).

26.03.2012, 13:53

HAL 9000

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Und wenn schon unnötig kompliziert als Doppelpotenz $\begin{eqnarray*} y=((3-x^{2})^5)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , dann aber nach Kettenregel auch richtig ableiten:

$\begin{eqnarray*} y'= \frac{1}{2}\left( {\color{red}(3-x^2)^5} \right)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 5({\color{red}3-x^2})^{5-1}\cdot (-2x) \end{eqnarray*}$ ,

die innere Funktion auf jeder Stufe ist dabei jeweils rot markiert.

26.03.2012, 13:59

curey

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Ja aber das geht doch nicht.....

Ich kann dann doch nicht 2,5 -1 = 1,5 rechnen, in der Lösung steht 3.

Hab das jetzt so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} y'=(3-x^{2}) ^{2,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=2,5*(3-x^{2} )^{1,5} *(-2x) \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 14:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von curey
Ich kann dann doch nicht 2,5 -1 = 1,5 rechnen, in der Lösung steht 3.

Zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1.5 \end{eqnarray*}$ liegen natürlich Welten. Big Laugh

Big Laugh

26.03.2012, 14:06

curey

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lol... wie gut dass das hier anonym ist^^
dachte ganze Zeit an eine ganze Zahl 3. Das bedeutet wohl, dass eine Potenz innerhalb einer Wurzel immer so aussieht: x/2?

26.03.2012, 14:10

Che Netzer

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Es ist so, wie ich es dir ganz am Anfang schon geschrieben habe:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^a}=x^{\frac a2} \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 14:14

curey

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Jo hab das irgendwie eh gewusst, nur hab ichs nicht verstanden :S
Jedenfalls danke für eure Hilfe, echt Hammer dass ihre eure Freizeit für mich opfert smile

smile

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