Basis von Span

21.01.2007, 15:49

phoney

Basis von Span

Hallo, es geht hier um folgendes:

$\begin{eqnarray*} \text{Es sei } M = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 = (1,1,1,1,1), v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3) \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie eine Basis B' von Span M und ergänzen Sie diese zu einer Basis B von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$
b) Liegt $\begin{eqnarray*} v_5 = (1,2,3,4,5) \end{eqnarray*}$ in V?

Zu a) Ich habe das versucht mit Matrizen zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich beschreibe es ma. Ich habe die erste Zeile minus zweite Zeile, zweite minus dritte und dritte minus vierte gerechnet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun die zweite Mal 5 minus die letzte, die dritte mal 5 minus die letze

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Vektoren sind nun

$\begin{eqnarray*} v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0) \end{eqnarray*}$

Diese habe ich mal auf vier Vektoren erweitert, da wird ja eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ haben wollen

$\begin{eqnarray*} v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0) \end{eqnarray*}$

Und das ergänzt auf $\begin{eqnarray*} IR^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0), v_{5} = (0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}$

Zu b dachte ich mir, dass der Vektor v_5 drin liegt, da dieser Vektor linear unabhängig ist von $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ liegt in V.

Hierbei liegt aber mein größter Zweifel!

EDIT:LAYOUT

22.01.2007, 08:10

Dual Space

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RE: Basis von Span

Zitat:

Original von phoney
b) Liegt $\begin{eqnarray*} v_5 = (1,2,3,4,5) \end{eqnarray*}$ in V?

Was ist denn V?

22.01.2007, 19:29

phoney

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Oh, da habe ich wertvolle Informationen verschwiegen.

V = Span M.

Sorry..

Kann das nun jemand durchgucken und mir helfen, bitte?

23.01.2007, 19:58

SilverBullet

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Zu a) Hmm ich kenne mich mit eurer Schreibweise der Matrizen nicht aus unglücklich

Wir haben die genau anders herum also die Matrix würde bei uns so aussehen :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\1 & 1 & 1 & 3\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit :
Check lieber nochmal ob deine Matrix wirklich richtig ist... Bei meiner kannste die mit einem Schritt auf die Zeilenstufenform bringen.
Nun es funktioniert allerdings mit beiden Schreibweisen analog.
Bring die Matrix auf Zeilenstufenform. Dann weißt du welche Dimension die Spanvektoren aufspannen.
Dann weißt du auch direkt wieviele linear abhängig oder unabhängig sind.

Hast du das erst einmal musst du nur noch geeignete Vektoren finden um dein System zu einer Basis zu ergänzen.

Also zu b)
Das ist ganz einfach wenn v5 in dem von v1,v2,v3,v4 aufgespannten Unterraum liegt so gibt es eine nicht
triviale linearkombination der Vektoren v1 bis v4 die v5 erzeugt.

Bilde dir also ein Gleichungssystem und schau ob du v5 erzeugen kannst. Wenn ja liegt er drin wenn nein dann nicht.

Edit : Es reicht wenn du dir die Basis nimmst die du dir gewählt hast und diese gleich v5 setzt. Als Tip : Die Basis aus a hat 2 Vektoren .. Warum hat sie das ?

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