Beweis perspektive Affinität

27.03.2012, 14:54	Sonnenblume2401	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis perspektive Affinität Sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Sei s eine Gerade, $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ein Vektor und $\begin{eqnarray} k\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ verhält sich folgendermaßen: wenn $\begin{eqnarray} M\in s \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \alpha(M)=M \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} N\not\in s \end{eqnarray}$ , so findet man $\begin{eqnarray} \alpha(N)=N' \end{eqnarray}$ indem man zunächst eine Gerade n durch N parallel zu $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ zeichnet. Sei $\begin{eqnarray} N_{0} \end{eqnarray}$ der Schnittpunkt zwischen n und s. N' ist nun jener Punkt auf n, sodass $\begin{eqnarray} \frac{d(N,N_{0})}{d(N', N_{0})}=k \end{eqnarray}$ gilt. Beweise dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eine Affinität ist! Kann mir bitte jemand helfen diesen Beweis zu Ende zu bringen? Meine Ideen: Es gibt sicher mehrere Möglichkeiten. Ich habe es mal so versucht: Gegeben seien 3 kollineare Punkte A, B und C, die nicht auf s liegen. Um zu beweisen dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eine Affinität ist, muss ich zeigen dass $\begin{eqnarray} \alpha(A)=A' \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha(B)=B' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha(C)=C' \end{eqnarray}$ kollinear sind. Ich weiß eigentlich nur, dass $\begin{eqnarray} \frac{d(A,A_{0})}{d(A', A_{0})}=\frac{d(B,B_{0})}{d(B', B_{0})}=\frac{d(C,C_{0})}{d(C', C_{0})}=k \end{eqnarray}$ gilt. Um weiterzumachen könnte ich die Strahlen- und/oder Ähnlichkeitssätze benutzen, oder? Aber wie komme ich zum Schluss, dass A', B' und C' kollinear sind? Ich bräuchte eher die Umkehrung dieser Sätze, oder? Danke an alle, die mir weiterhelfen!
28.03.2012, 18:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt der Zusammenhang der eingangs gegebenen Affinität mit der von dir gegebenen Skizze. In letzterer findet man kein s, M und N. Wo sind diese und welche Rolle spielt M? Nach den so weit ersichtlichen Gegebenheiten dürfte s die Affinitätsachse (Fixpunktgerade der Abb.) und M und N0 auf ihr liegende Fixpunkte sein. Wenn das Teilverhältnis aller Punkte N - N', A - A', B - B' und C - C' immer gleich ist, so muss aus der Kollinearität von A, B, C zwangsläufig jene von A' B' C' folgen, weil die entsprechenden Punkte auf zu v parallelen Strahlen liegen und infolgedessen der Strahlen- bzw. die Ähnlichkeitssätz gelten. mY+
29.03.2012, 08:38	Sonnenblume2401	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage Ja du hast natürlich Recht... Habe M,N und s nicht hingeschrieben, weil sich die Zeichnung eigentlich nur auf den Beweis bezieht. Tut mir leid. s ist natürlich die Fixpunktgerade durch $\begin{eqnarray} A_0,\ B_0\ \mbox{und}\ C_0 \end{eqnarray}$ . Danke mYthos, habe aber noch eine kleine Frage: Welcher Strahlensatz oder Ähnlichkeitssatz muss gelten, damit A', B' und C' kollinear sind?
29.03.2012, 14:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
OA : OB : OC = OA' : OB' : OC' = AA' : BB' : CC' = OA0 : OB0 : OC0 [2. Strahlensatz] mY+
30.03.2012, 00:25	Sonnenblume2401	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, alles klar, aber nun meine nàchste Frage: Wie komme ich von $\begin{eqnarray} \frac{d(A,A_{0})}{d(A', A_{0})}=\frac{d(B,B_{0})}{d(B', B_{0})}=\frac{d(C,C_{0})}{d(C', C_{0})}=k \end{eqnarray}$ auf OA : OB : OC = OA' : OB' : OC' = AA' : BB' : CC' = OA0 : OB0 : OC0?
01.04.2012, 17:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt ja gerade aus dem erwähnten Strahlensatz bzw. dessen Umkehrung. Da das Verhältnis der zwischen den Strahlen liegenden Strecken AA0 - A'A0, BB0 - .., ... usw. konstant (gleich k) ist, müssen die Punkte A, B, C bzw. A', B', C' ... jeweils auf einem Strahl liegen, sie liegen daher kollinear. mY+
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