Volumen berechnen

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Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen berechnen
Hallo zusammen,

ich hab ein problem mir folgender aufgabe.

sei die vollkugel im R^3 mit radius R>0 und .
berechne das volumen .

ich weiß nicht wie ich vorgehen muss? muss ich jetzt einfach S^2 integrieren?

schon mal vielen dank!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
Eine Menge kannst du nicht integrieren.
Ansonsten integrierst du (die Einsfunktion) über B³. Das mit S² könnte aber auch auf den Satz von Gauss hinauslaufen, wenn der geübt werden soll.

mfg,
Ché Netzer
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
ja, den satz von gauß hatten wir gerade.
aber wie soll ich damit ein volumen berechnen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
Dann könntest du dir eine Funktion suchen, deren Divergenz 1 ist (z.B. ) und aus der Integration von 1 auf der Menge B³ eine Integration dieser Funktion über S² machen.
(wobei ich die direkte Berechnung hier ja einfacher fände)
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
mh, vllt muss ich es auch normal berechnen und danach kommt der gauß-satz.
ich poste mal die ganze aufgabe.
(mehrdim. integration, jakobis transformation, satz von gauß) voraussetzungen und a) siehe oben
b) berechne integral
c)berechne mit hilfe des gaußschen satzes das integral
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
Dann würde ich das Volumen ganz normal berechnen, also ohne den Satz von Gauß und mit dem Transformationssatz.
 
 
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
mh, wenn ich über B^3 integrier, bekomm ich ja , aber das kann ja nicht sein??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
So ist das nicht gemeint smile

Wie du auf einer beliebigen Menge integrierst, weißt du aber?
Wenn man das Volumen einer Menge B haben möchte, berechnet man . Dann wendet man oft den Trafo-Satz an, um auf einem Quader integrieren zu können und damit das Integral in iterierte (Regel-)Integrale umformen zu können.

B³ ist also nicht dein Integrand, sondern die Menge, auf der du integrierst.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
also hab ich die funktion über die ich integrieren muss, d.h.
muss ich jetzt mit diesen kugelkoordinaten weitermachen, welche dann den Quader beschreiben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
Genau. (und dabei die Determinante nicht vergessen)
Das f(x,y,z) kannst du in der Schreibweise aber auch weglassen.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
also hab ich

dann leit ich das ab. und berechne von der ableitung die determinante, oder?



die determinante davon ist dann, wenn man nach der letzten zeile entwickelt


dann das volumen berechnen

das ist dann 4/3pi
stimmt das so? das ergebnis sieht zumindest gut aus smile
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
wie muss ich für die b) vorgehen? muss ich für x,y,z die kugelkoordinaten einsetzen und quadrieren?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
Wenn R=1 sein sollte, stimmt das. Zumindest das Ergebnis, aber dann wird der Rechenweg wohl auch richtig sein.

Ja, für b setzt du statt (x,y,z) einfach ein. Das vereinfacht sich aber noch.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumen berechnen
ok.
ich hab das jetzt eingesetzt und alles vereinfacht. dann bekomm ich

nur wir integrier ich das jetzt? was sind meine integrationsgrenzen?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

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Aufgabe b)
Wenn ich dich richtig verstehe, sollst du bei b) das Volumenintegral über den Integranden für die Einheitskugel berechnen, also



Für das R-Integral findest du die Stammfunktion in Tabellenbüchern.
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Aufgabe c)

Gesucht ist mittels Gaußschem Satz das Oberflächenintegral über den Integranden 0,5x³+y+z entlang der Kugeloberfläche. Der Gaußsche Satz für dein Problem lautet bekanntlich



Dabei ist der Einheitsnormalenvektor auf der Kugelfläche. Vergleich der linken Seite mit deinem Integranden zeigt, dass wir ein Vektorfeld benötigen, für das gelten muss . Eine Variante wäre



Bilde also die Divergenz des Vektorfeldes in kartesischen Koordinaten und berechne die rechte Seite des obigen Gaußschen Satzes (also das Volumenintgeral) in Kugelkoordinaten, wobei du wieder die Funktionaldeterminante gemäß benutzen musst.
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Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

zur b)



stimmt das so? vorallem das integral über r?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Susi101,
die Zerlegung des Integrals in ein Produkt aus 3 Integralen ist richtig. Ob das r-Integral richtig ist, hab' ich nicht kontrolliert. Das ist ja pures Rechnen, was du selber erledigen solltest. Wenn dein Ergebnis stimmt, würde ich aber einfacher schreiben .
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

noch ne frage zur c)

und zwar soll ich die divergenz berechnen.





stimmt das so?
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich die divergenz hier richtig berechnet??
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Divergenz ist richtig. Aber bitte habe Verständnis dafür, dass wir nicht jede kleine Rechnung von dir nachrechnen können.

Drücke jetzt in der Divergenz die Koordinaten x,y,z durch Polarkoordinaten aus und berechne gemäß Gaußschem Satz das Volumenintergral
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst sicher die kugelkoordinaten, oder?

wenn ich die kugelkoordinaten in die divergenz einsetze bekomm ich:



also das unter der wurzel gibt einfach r.
dann bekomm ich

wenn ich jetzt die rechte seite vom satz von gauß ausrechnen muss, stimmt dann so mein ansatz:


kann man das noch iwie vereinfachen? so kann ich das ja nicht integrieren??
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere die Klammer im Intergranden aus, dann hast du 4 Summenden:



Nun musst du über alle Summanden einzeln Integrieren. Das sind 4 Integrale, was natürlich etwas Arbeit macht. Benutze folgende Integrationsformeln, die ich dir aus einem Tabellenbuch rausgesucht habe:


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Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke smile

ich hab die integrale gerade berechnet. kann das sein, dass alle integral 0 sind??

ist schon 0 und auch oder??
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die Integrale aus Zeitgründen nicht nachrechnen. Insgesamt kann aber durchaus Null herauskommen. Als Probe empfehle ich die direkte Berechnung des Oberflächenintegrals (also ohne Umwandlung in ein Volumenintegral), also



Transformation auf Polarkoordinaten ergibt mit dem Flächenelement



Ausmultiplizieren und Zerlegen in 3 einzelne Integrale liefert




Da muss natürlich das gleiche Ergebnis herauskommen wie beim Volumenintegral.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

auch hier kommt 0 raus.
also wird das ergebnis wohl null sein...

Danke smile
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